1.1.1 第2课时 空间向量的数量积 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(3)数量积的几何意义 ①向量的投影 如图所示，过向量a的始点和终点分别向向量b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′. ②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. [知识点二]　空间向量数量积的性质　 1．a⊥b⇔a·b＝0； 2．a·a＝|a|2＝a2； 3．|a·b|≤|a||b|； 4．(λa)·b＝λ(a·b)； 5．a·b＝b·a(交换律)； 6．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2.(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？ (2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？ [提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0. (2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a，b〉不一定是锐角． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　　) (2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(　　) (4)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 解析：B　[对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．] 3．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq \r(7)， 则cos〈a，b〉＝　________　.　　 解析：将|a－b|＝eq \r(7)化为(a－b)2＝7，求得a·b＝eq \f(1,2)， 再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，求得cos〈a，b〉＝eq \f(1,8). 答案：eq \f(1,8) 数量积的计算 [例1]　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BA,\s\up16(→))；　(2)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))；　 (3)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))；　 (4)eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→)). [思路点拨]　计算两向量的数量积首先确定两向量的夹角，要注意向量的方向及夹角的范围． 解：(1)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up16(→))||eq \o(BA,\s\up16(→))|·cos〈eq \o(BD,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))〉＝eq \f(1,2)cos 60°＝eq \f(1,4). (2)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up16(→))|2＝eq \f(1,2). (3)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up16(→))|·|eq \o(DC,\s\up16(→))|·cos〈eq \o(BD,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))〉＝eq \f(1,2)cos 120°＝－eq \f(1,4). (4)eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))·(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AD,\s\up16(→))|cos〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))〉－|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|cos〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模． (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． [变式训练] 1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(AF,\s\up16(→))＝　________　. 解析：eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AC,\s\up16(→))))·eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,4)(eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))) ＝eq \f(1,4)(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝eq \f(1,4)a2. 答案：eq \f(1,4)a2 (2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq \o(OG,\s\up16(→))·(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))＝　________　. 解析：eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)[(eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))＋(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))] ＝eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up16(→)).，∴eq \o(OG,\s\up16(→))·(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(OA,\s\up16(→))))·(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up16(→))2＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up16(→))2＋eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up16(→))2＝eq \f(1,3)×22＋eq \f(1,3)×32＋eq \f(1,3)×12＝eq \f(14,3). 答案： eq \f(14,3) 利用数量积证明空间的垂直关系 [例2]　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. [思路点拨]　证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． [解]　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|. 又eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(ON,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up16(→))＋\o(OC,\s\up16(→)))) ＝eq \f(1,4)(a＋b＋c)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝c－b. ∴eq \o(OG,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b) ＝eq \f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝eq \f(1,4)(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴eq \o(OG,\s\up16(→))⊥eq \o(BC,\s\up16(→))，即OG⊥BC. 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题． (2)用已知向量表示所证向量． (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0. (4)将向量问题回归到几何问题． [变式训练] 2.如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC. 证明：不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝eq \r(2). eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))， 由于eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))·(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)))＝eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＝1，eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|·|eq \o(AC,\s\up16(→))|cos 60° ＝eq \r(2)×eq \r(2)×eq \f(1,2)＝1.∴eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A， ∴BD⊥平面ADC. 用数量积求角度 [例3]　如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值． [思路点拨]　求异面直线OA与BC所成的角，首先来求eq \o(OA,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化． [解]　∵eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))，∴eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝|eq \o(OA,\s\up16(→))|·|eq \o(AC,\s\up16(→))|·cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉－|eq \o(OA,\s\up16(→))|·|eq \o(AB,\s\up16(→))|·cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16eq \r(2). ∴cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(OA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(OA,\s\up16(→))|·|\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq \f(24－16\r(2),8×5)＝eq \f(3－2\r(2),5)， ∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为eq \f(3－2\r(2),5). 利用向量数量积求夹角问题的思路 1．求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 2．我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小； ④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小． [变式训练] 3.如图，已知直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． 解析：(1)证明：设eq \o(CA,\s\up16(→))＝a，eq \o(CB,\s\up16(→))＝b，eq \o(CC′,\s\up16(→))＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0. ∴eq \o(CE,\s\up16(→))＝b＋eq \f(1,2)c，eq \o(A′D,\s\up16(→))＝－c＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a. ∴eq \o(CE,\s\up16(→))·eq \o(A′D,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)c2＋eq \f(1,2)b2＝0， ∴eq \o(CE,\s\up16(→))⊥eq \o(A′D,\s\up16(→))，即CE⊥A′D. (2)∵eq \o(AC′,\s\up16(→))＝－a＋c，∴|eq \o(AC′,\s\up16(→))|＝eq \r(2)|a|，|eq \o(CE,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(5),2)|a|， ∵eq \o(AC′,\s\up16(→))·eq \o(CE,\s\up16(→))＝(－a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)|a|2，∴cos〈eq \o(AC′,\s\up16(→))，eq \o(CE,\s\up16(→))〉＝eq \f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq \f(\r(10),10). ∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10). 利用数量积求距离 [例4]　如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为　__________　. [思路点拨]　求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，利用公式|a|＝eq \r(a·a)求解即可． [解析]　∵eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))， ∴|eq \o(PC,\s\up16(→))|2＝eq \o(PC,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)))2＝|eq \o(PA,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AD,\s\up16(→))|2＋|eq \o(DC,\s\up16(→))|2＋2eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＋2eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＋2eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＝62＋42＋32＋2|eq \o(AD,\s\up16(→))||eq \o(DC,\s\up16(→))|cos 120°＝61－12＝49.∴PC＝7. [答案]　7 1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算． 2．用数量积求两点间距离的步骤： (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a·a＝|a|2，求|a|； (4)|a|即为所求距离． [变式训练] 4.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长． 解：因为eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))， 所以eq \o(AC,\s\up16(→)) eq \o\al(2,1)＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)))2 ＝eq \o(AB,\s\up16(→))2＋eq \o(AD,\s\up16(→))2＋eq \o(AA,\s\up16(→)) eq \o\al(2,1)＋2(eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AA1,\s\up16(→)))． 因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， 所以eq \o(AC,\s\up16(→)) eq \o\al(2,1)＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为eq \o(AC,\s\up16(→)) eq \o\al(2,1)＝|eq \o(AC1,\s\up16(→))|2，所以|eq \o(AC1,\s\up16(→))|2＝23， 则|eq \o(AC1,\s\up16(→))|＝eq \r(23)，即AC1＝eq \r(23). [当堂达标] 1.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　　) A.eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(A′C′,\s\up16(→)) B.eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(C′A′,\s\up16(→)) C.eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(A′D′,\s\up16(→)) D.eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(B′A′,\s\up16(→)) 解析：A　[A，B，C，D四个选项中各对向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°.] 2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))〉的值为(　　) A.eq \f(1,2)　　 B.eq \f(\r(2),2)　　　C．－eq \f(1,2)　　　D．0 解析：D　[eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))·(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))＝eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OC,\s\up16(→))|cos∠AOC－|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OB,\s\up16(→))|cos∠AOB＝eq \f(1,2)|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OC,\s\up16(→))|－eq \f(1,2)|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OB,\s\up16(→))|＝0， ∴eq \o(OA,\s\up16(→))⊥eq \o(BC,\s\up16(→))，∴cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))〉＝0.] 3．在△ABC中，∠B＝90°，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－2)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(3，λ)，则λ＝　________　. 解析：在△ABC中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－2)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(3，λ)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，λ＋2) 又∠B＝90°，∴eq \o(AB,\s\up16(→))⊥eq \o(BC,\s\up16(→))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0， 即2－2(λ＋2)＝0，解得λ＝－1 答案：－1 4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c. (1)试用a，b，c表示向量eq \o(MN,\s\up16(→))； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解：(1)eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \o(B1N,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,3) eq \o(BA1,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(B1C1,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(c－a)＋a＋eq \f(1,3)(b－a)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c. (2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×eq \f(1,2)＋2×1×1×eq \f(1,2)＝5， ∴|a＋b＋c|＝eq \r(5)，∴|eq \o(MN,\s\up16(→))|＝eq \f(1,3)|a＋b＋c|＝eq \f(\r(5),3)，即MN＝eq \f(\r(5),3). $$