1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(3)表示方法 ①几何表示法：可以用　有向线段　来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为eq \o(AB,\s\up16(→))，模为|eq \o(AB,\s\up16(→))|. ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…. 2．几类特殊的向量 (1)零向量：　始点　和　终点　相同的向量称为零向量，记作0. (2)单位向量：模等于　1　的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小　相等　、方向　相同　的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向　相反　，大小　相等　的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相　平行　，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线　平行　或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在　同一平面　内，则称这些向量共面． 1.在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那么它们的终点构成怎样的图形？ [提示]　球面． [知识点二]　空间向量的加减运算及运算律　 1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． (1)如图1，eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＝a－b. (2)如图2，eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(DB1,\s\up16(→)). 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． 2．空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？ [提示]　完全一致． [知识点三]　空间向量的线性运算　 1．给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa.其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为　|λ||a|　，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向　相同　； (ⅱ)当λ＜0时，与a的方向　相反　. ②当λ＝0或a＝0时，λa＝　0　. 2．空间向量的线性运算满足如下运算律： 对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量没有方向．(　　) (2)空间向量就是空间中的一条有向线段．(　　) (3)不相等的两个空间向量的模必不相等．(　　) (4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．(　　) (5) 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．已知空间四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(CB,\s\up16(→))＝b，eq \o(AD,\s\up16(→))＝c，则eq \o(CD,\s\up16(→))等于(　　) A．a＋b－c　　　 B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 解析：C　[eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝－a＋b＋c.] 3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则eq \o(EF,\s\up16(→))和eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))的关系是　________　.(填“平行”，“相等”或“相反”) 解析：设G是AC的中点，则eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(EG,\s\up16(→))＋eq \o(GF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))) 所以2eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))，从而eq \o(EF,\s\up16(→))∥(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)))． 答案：平行 空间向量概念 [例1]　给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→))； ③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反； ④在四边形ABCD中，必有eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)). 其中正确命题的序号是　________　. [思路点拨]　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致． [解析]　(1)①正确；②正确，因为eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(A1C1,\s\up16(→))的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)).综上可知，正确命题为①②. [答案]　①② 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． [变式训练] 1．(1)下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(　　 ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b，则|a|≠|b|； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．0　　 B．1　　　C．2　　　D．3 (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量eq \o(AA′,\s\up16(→))相等的向量有　_________　；与向量eq \o(A′B′,\s\up16(→))相反的向量有　________　.(要求写出所有适合条件的向量) 解析：(1)B　[根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.] (2) 根据相等向量的定义知，与向量eq \o(AA′,\s\up16(→))相等的向量有eq \o(BB′,\s\up16(→))，eq \o(CC′,\s\up16(→))，eq \o(DD′,\s\up16(→)).与向量eq \o(A′B′,\s\up16(→))相反的向量有eq \o(B′A′,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))，eq \o(C′D′,\s\up16(→)). 答案：(1)B　(2) eq \o(BB′,\s\up16(→))，eq \o(CC′,\s\up16(→))，eq \o(DD′,\s\up16(→))　eq \o(B′A′,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))，eq \o(C′D′,\s\up16(→)) 空间向量的加、减运算 [例2] 如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量． ①eq \o(AA′,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))； ②eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(B′C′,\s\up16(→)). [解]　①eq \o(AA′,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(AA′,\s\up16(→))－eq \o(DA,\s\up16(→))＝eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AD′,\s\up16(→)). ②eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(B′C′,\s\up16(→))＝(eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))＋eq \o(B′C′,\s\up16(→))＝eq \o(AB′,\s\up16(→))＋eq \o(B′C′,\s\up16(→))＝eq \o(AC′,\s\up16(→)). 向量eq \o(AD′,\s\up16(→))、eq \o(AC′,\s\up16(→))如图所示： (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即eq \o(A1A2,\s\up16(→))＋eq \o(A2A3,\s\up16(→))＋eq \o(A3A4,\s\up16(→))＋…＋An－1An＝eq \o(A1An,\s\up16(→)). (2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DE,\s\up16(→))＋eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(FG,\s\up16(→))＋eq \o(GH,\s\up16(→))＋eq \o(HO,\s\up16(→))＝0. (3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b)． (4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律． [变式训练] 2．如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′， (1)化简eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(A′B′,\s\up16(→))＋eq \o(B′C′,\s\up16(→))＋eq \o(C′A,\s\up16(→)). (2)求证eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AB′,\s\up16(→))＋eq \o(AD′,\s\up16(→))＝2eq \o(AC′,\s\up16(→)). [解]　(1)结合加法运算 eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(A′B′,\s\up16(→))＝eq \o(AB′,\s\up16(→))，eq \o(AB′,\s\up16(→))＋eq \o(B′C′,\s\up16(→))＝eq \o(AC′,\s\up16(→))，eq \o(AC′,\s\up16(→))＋eq \o(C′A,\s\up16(→))＝0. 故eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(A′B′,\s\up16(→))＋eq \o(B′C′,\s\up16(→))＋eq \o(C′A,\s\up16(→))＝0. (2)证明　长方体的六个面均为平行四边形． ∴eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AB′,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→))，eq \o(AD′,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→))， ∴eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AB′,\s\up16(→))＋eq \o(AD′,\s\up16(→)) ＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＋(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→)))＋(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→)))＝2(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→)))． 又∵eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \o(CC′,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))， ∴eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CC′,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CC′,\s\up16(→))＝eq \o(AC′,\s\up16(→)). ∴eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AB′,\s\up16(→))＋eq \o(AD′,\s\up16(→))＝2eq \o(AC′,\s\up16(→)). 空间向量的线性运算 [例3]　在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，E为BC中点，则eq \o(EF,\s\up16(→))等于(　　) A.eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→)) B.eq \o(EF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→)) C.eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→)) D.eq \o(EF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→)) [思路点拨]　根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化 一定要看最后是用谁来表示。 [解析]　B　[在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，E为BC中点，所以eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))－\o(AC,\s\up16(→))))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))，即eq \o(EF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→)).] 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [变式训练] 3.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c，则与eq \o(BM,\s\up16(→))相等的向量是(　　) A.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c　　 B．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c C.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c 解析：D　[根据空间向量的线性运算可知eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \o(B1M,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(B1D1,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(B1A1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→)))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c，则eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，即eq \o(BM,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.] [当堂达标] 1. (多选)下列命题中为假命题的是(　　) A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 解析：BCD　[对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可以相等．] 2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A．a＝b　　　　　　 B．a＋b为实数0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3 解析：D　[∵a＝－b且|b|＝3，∴|a|＝|－b|＝3.] 3．化简：2eq \o(AB,\s\up16(→))＋2eq \o(BC,\s\up16(→))＋3eq \o(CD,\s\up16(→))＋3eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝　________　. 解析：0　[2eq \o(AB,\s\up16(→))＋2eq \o(BC,\s\up16(→))＋3eq \o(CD,\s\up16(→))＋3eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝2(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→)))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝0＋eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝0＋0＝0.] 4.如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BE,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))，并在图中标出化简结果的向量． 解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线， ∴eq \o(GE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BE,\s\up16(→)).又eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(DC,\s\up16(→))－eq \o(DA,\s\up16(→))) ＝eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up16(→))＝eq \o(DE,\s\up16(→))－eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(FE,\s\up16(→))， ∴eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BE,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \o(GE,\s\up16(→))－eq \o(FE,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))(如图所示)． $$