3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点时，可以取的初始区间为(　　) A．[－2,1]　　　　 B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2] 解析：A　[由于f(－2)＝(－2)3＋5＝－3＜0，f(1)＝13＋5＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，因此可以将[－2,1]作为初始区间，故选A.] 2．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点 解析：D　[f(1)·f(2)·f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则有零点可能区间(0,1)，(1,2)，(0,2)，(2,4)，但它们都包含于(0,4)，因此选项D正确．] 3．若关于x的方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．[0,1) 解析：B　[令f(x)＝2ax2－x－1.当a＝0时，不符合题意；当a≠0时，则有f(0)·f(1)＝－1×(2a－2)＜0，故a＞1.] 4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)＜0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此零点x0所在的区间是(　　) A．(2,4) B．(2,3)　 C．(3,4)　 D．无法确定 解析：B　[∵f(2)·f(4)＜0，f(2)·f(3)＜0，∴f(3)·f(4)＞0，∴x0∈(2,3)．] 5．(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　) A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1 C．f(x)＝log4x D．f(x)＝ex－2 解析：ACD　[f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．故选A、C、D.] 6．(多选)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084 f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066 则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为(　　) A．2.52 B．2.56 C．2.66 D．2.75 解析：AB　[由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5,2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选A、B.] 7．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x＞0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)＜0，则函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的个数是______________． 解析：∵f(1)·f(2)＜0，∴在(1,2)上函数y＝f(x)有零点．又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．由函数为偶函数可知，函数在(－∞，0)上也有一个零点． 答案：2 8．若函数f(x)的图像是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号) ①(－∞，1]　②[1,2]　③[2,3]　④[3,4]　⑤[4,5]　⑥[5,6]　⑦[6，＋∞) x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.123 15.542 －3.930 10.678 －50.667 －305.678 解析：由表可知：f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，且f(x)的图像是连续不间断的，∴f(x)在[2,3]，[3,4]，[4,5]上有零点． 答案：③④⑤ 9．已知函数y＝f(x)的图象如图，其中零点的个数____________，可以用二分法求解的个数为________． 解析：题中图像与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；零点左、右函数值异号的有3个，所以可以用二分法求解的近似根的个数为3. 答案：4　3 10．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，问如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km长，大约有200多根电线杆！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 解：可以利用二分法的原理进行查找．如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查． 这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50 m～100 m之间，即一二根电线杆附近． 11．试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y＝至少有一个零点． 解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，－)∪(－，＋∞)． 取区间[，]．∵f()＝＝－＜0，f()＝＝＞0， ∴在区间[，]内函数f(x)至少有一个零点．∴[，]就是符合条件的一个区间． 12．已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)． (1)求证：f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根(精确度0.01)． 解析：(1)证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1(a＞1)，且ax1＞0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0(a＞1)，∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴－＝＞0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0.故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知当a＝3时，f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上单调递增，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个． ∵f(0)＝－1＜0，f(1)＝＞0，∴方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点值 中点函数近似值 (0,1) 0.5 0.732 (0,0.5) 0.25 －0.084 (0.25,0.5) 0.375 0.328 (0.25,0.375) 0.312 5 0.124 (0.25,0.312 5) 0.281 25 0.021 (0.25,0.281 25) 0.265 625 －0.032 (0.265 625,0.281 25) 0.273 437 5 －0.005 43 (0.273 437 5,0.281 25) 因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以方程的根的近似值为0.273 437 5，即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5. 13．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0. (1)证明：a＞0； (2)利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]上有两个实根． 证明：(1)∵f(1)＞0， ∴3a＋2b＋c＞0，即3(a＋b＋c)－b－2c＞0. 又a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，则－b－c＞c，a＝－b－c＞c. 又f(0)＞0，∴c＞0，∴a＞0. (2)在[0,1]内选取二等分点， 则f()＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0. ∵f(0)＞0，f(1)＞0， ∴f(x)在区间(0，)和(，1)内至少各有一个零点． 又f(x)最多有两个零点，∴方程f(x)＝0在[0,1]上有两个实根． 学科网（北京）股份有限公司 $$