2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　) A.　　　　　　　　 B．4 C. D．5 解析：C　[∵a＋b＝2，∴＝1. ∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.] 2．已知x≥，则f(x)＝有(　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 解析：D　[f(x)＝＝＝[(x－2)＋]≥1.当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．] 3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 解析：B　[∵x＋2y＋2xy＝8， ∴y＝＞0. ∴0＜x＜8.∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2 －2＝4. 当且仅当x＋1＝， 即x＝2时，取“＝”号，此时x＝2，y＝1.] 4．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　) A．a≥ B．a> C．a< D．a≤ 解析：A　[因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x>0，a≥max，而对x>0，＝≤＝，当且仅当x＝时等号成立，所以a≥.] 5．(多选)下列四个命题中，是真命题的是(　　) A．∀x∈R，且x≠0，x＋≥2 B．∃x∈R，使得x2＋1≤2x C．若x>0，y>0，则 ≥ D．若x≥，则的最小值为1 解析：BCD　[对于A，∀x∈R，且x≠0，x＋≥2对x<0时，不成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2,2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；对于C，若x>0，y>0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为≥，当且仅当x＝y>0时取等号，正确；对于D，y＝＝＝，因为x≥，所以x－2>0.所以≥·2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．故y的最小值为1.] 6．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥2 B.≥ C.≥a＋b D．(a＋b)≥4 解析：ACD　[因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，故A一定成立．因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≤不一定成立．故B不成立．因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，所以≥， 所以≥a＋b，故C一定成立． 因为(a＋b)(＋)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选A、C、D.] 7．已知实数m，n满足m·n＞0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________． 解析：∵m·n＞0，m＋n＝－1，∴m＜0，n＜0， ∴＋＝－(m＋n)(＋)＝－(2＋＋)≤－2－2 ＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4. 答案：－4 8．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元． 解析：设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m. 那么y＝120·4＋2·80·(2x＋2·) ＝480＋320(x＋)＝480＋320(x＋) ≥480＋320·2 ＝1 760(元)． 当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 答案：1 760 9．设x＞－1，则函数y＝的最小值是________． 解析：∵x＞－1，∴x＋1＞0，设x＋1＝t＞0，则x＝t－1，于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1. ∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9. 答案：9 10．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元． (1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数． (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最小，则每批应购入电脑多少台？ 解析：(1)由题意，得y＝×300＋k×3 000x. 当x＝20时，y＝7 800，解得k＝0.04. 所以y＝×300＋0.04×3 000x＝×300＋120x(x∈N*)． (2)由(1)，得y＝×300＋120x≥ 2＝2×3 600＝7 200. 当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立． 所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台． 11．(1)已知0＜x＜，求y＝2x－5x2的最大值； (2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值． 解析：(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x) ＝·5x·(2－5x)． ∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0， ∴5x(2－5x)≤()2＝1， ∴y≤时，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝. (2)∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1， ∴＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立， ∴＋的最小值是18. 12．已知x＞0，y＞0,2xy＝x＋4y＋a. (1)当a＝6时，求xy的最小值； (2)当a＝0时，求x＋y＋＋的最小值． 解：(1)由题意，知x＞0，y＞0， 当a＝6时，2xy＝x＋4y＋6≥4＋6， 即()2－2－3≥0，∴(＋1)(－3)≥0， ∴≥3，∴xy≥9，当且仅当x＝4y＝6时，等号成立，故xy的最小值为9. (2)由题意，知x＞0，y＞0，当a＝0时，可得2xy＝x＋4y.两边都除以2xy，得＋＝1， ∴x＋y＋＋＝x＋y＋1＝(x＋y)·＋1＝＋≥＋2＝，当且仅当＝，即x＝3，y＝时，等号成立，故x＋y＋＋的最小值为. 13．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元， 依题意得当0＜x＜80时，L(x)＝1 000x×0.05－－250＝－x2＋40x－250； 当x≥80时， L(x)＝1 000x×0.05－－250＝1 200－. ∴L(x)＝ (2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950. 对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950万元； 当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 000(万元)， 当且仅当x＝100时，L(x)max＝1 000万元， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$