2.2.4 第1课时 均值不等式 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

1．若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A.　　　　　　　　　 B．a2＋b2 C．2ab D．a 解析：B　[a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·()2＝.a2＋b2－2ab＝(a－b)2＞0(a≠b)，∴a2＋b2＞2ab(a≠b)． ∵0＜a＜b且a＋b＝1.∴a＜.∴a2＋b2最大．] 2．已知a＜b＜0，则在下列不等式中成立的是(　　) A．a＜b＜＜ B．a＜＜b＜ C．a＜b＜＜ D．a＜＜ab＜b 解析：B　[∵a＜b＜0，∴a＝＜＜＝b.又b＜0，显然b＜.] 3．设m＞1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为(　　) A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q 解析：C　[因为m＞1，所以P＝m＋＝m－1＋＋1≥2＋1＝5＝Q，当且仅当m－1＝，即m＝3时等号成立，故选C.] 4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 解析：D　[＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.] 5．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C.<v< D．v＝ 解析：AD　[设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝＝<＝.又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.] 6．(多选)下列结论中正确的有(　　) A．若a≠b≠0，则＋≥2 B．若a≠b≠0，且a，b同号，则＋≥2 C．若a>b>0，则a2>b2 D．若a>b，则a2>b2 解析：BC　[A.若a，b异号，<0，<0，＋＝－[(－)＋(－)]≤－2，错误．同理可得B正确．C.因为a>b>0，则a2>b2，C正确，D.当a<0，b<0时，a2>b2不成立．] 7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，则a＋b,2，a2＋b2,2ab中最大的是________． 解析：∵a＞0，b＞0， ∴a＋b≥2，a2＋b2≥2ab， ∴四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2. 又∵0＜a＜1,0＜b＜1， ∴a2＋b2－(a＋b) ＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)＜0， ∴a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大． 答案：a＋b 8．当x＞1时，函数y＝x＋的最小值是________． 解析：因为x＞1，所以y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，且x＞1，即x＝2时等号成立．故函数的最小值为3. 答案：3 9．(一题两空)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab. (1)则ab的最小值为________； (2)则a＋2b的最小值为________． 解析：因为2a＋b＝ab， 所以＋＝1. (1)因为a>0，b>0. 所以1＝＋≥2， 当且仅当＝＝ ，即a＝2，b＝4时取等号， 所以ab≥8，即ab的最小值为8. (2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号， 所以a＋2b的最小值为9. 答案：(1)8　(2)9 10．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：a2＋b2≥. 证明：∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1， ∴a2＋b2≥， 当且仅当a＝b＝时，等号成立． 11．(1)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值． (2)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值． 解：(1)∵0＜x＜， ∴1－2x＞0， y＝·2x·(1－2x)≤·2＝×＝. ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝，y最大值＝ (2)∵x＜3，∴x－3＜0， ∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号， ∴f(x)的最大值为－1. 12．已知x，y，z＞0，x＋y＋z＝3. (1)求＋＋的最小值； (2)求证：3≤x2＋y2＋z2＜9. 解析：(1)＋＋＝(x＋y＋z)(＋＋) ＝(1＋＋＋＋1＋＋＋＋1) ＝[3＋(＋)＋(＋)＋(＋)] ≥(3＋2 ＋2 ＋2 )＝3， 当且仅当x＝y＝z＝1时取等号， ∴＋＋的最小值为3. (2)∵9＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz≤3(x2＋y2＋z2)， ∴x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号． 又x，y，z＞0， ∴xy＋xz＋yz＞0， ∴x2＋y2＋z2＝9－2(xy＋xz＋yz)＜9， ∴3≤x2＋y2＋z2＜9. 13．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证： (－1)(－1)(－1)≥8. 证明：∵a＋b＋c＝1， ∴(－1)(－1)(－1) ＝(－1)(－1)(－1) ＝(＋)(＋)(＋) ＝＋＋＋＋＋＋2 ＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋2. ∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴＋≥2，＋≥2，＋≥2， ∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥6， ∴(－1)(－1)(－1)≥8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$