1.2.1 命题与量词 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

1．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是(　　) A．四个命题都是真命题 B．①②是全称量词命题 C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题 解析：C　[①④为全称量词命题；②③为存在量词命题；①②③为真命题．] 2．下列是存在量词命题且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0　 B. ∃x∈Z，x2>2 C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0 解析：B　[对于A，∀x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意；对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意，故选B.] 3．下列命题是假命题的是(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 解析：B　[对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0恒成立．] 4．“对x∈R，关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于(　　) A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立 B．∃x0∈R，使得f(x)≤0成立 C．∀x∈R，f(x)＞0成立 D．∀x∈R，f(x)≤0成立 解析：A　[“对x∈R，关于x的不等式f(x)＞0有解”的意思就是∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立，故选A.] 5．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 解析：CD　[当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除， 所以A、B错误，C、D正确．故选C、D.] 6．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 解析：ABD　[A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选A、B、D.] 7．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________． ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题． 答案：①②③　④ 8．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________． 解析：∵x≥3∴2x－1≥5，∴m≤5 答案：(－∞，5] 9．若“∃x0∈R，ax＋2x0＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：当a≤0时命题为真；当a＞0时命题为真，必使Δ＝4－4a2＞0，即－1＜a＜1，∴a＜1. 答案：a＜1 10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题： (1)凸n边形的外角和等于2π. (2)有一个有理数x0满足x＝3. (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解：(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π， (2)∃x0∈Q，x＝3， (3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1. 11．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假： (1)存在这样的x，使x－2≤0； (2)矩形的对角线垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数． 解：(1)存在量词命题．x＝2时，x－2＝0成立．所以命题是真命题． (2)全称量词命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直，所以，全称命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题． (3)全称量词命题．三角形中，两边之和大于第三边，所以，全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题． (4)量词命题.3是素数也是奇数，所以，存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题． 12．对任意实数x，不等式2x＞m(x2＋1)恒成立，求实数m的取值范围． 解：不等式2x＞m(x2＋1)恒成立，即：不等式mx2－2x＋m＜0恒成立． (1)当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立，不合题意． (2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m＜0恒成立，则解得m＜－1. 综上可知，所求实数m的取值范围是(－∞，－1)． 13．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立． 又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$