第三章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

[网络构建] [归纳提升] 　　　求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题；求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题 ①若f(x)的定义域为[a，b]，f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x)地位相同； ②定义域所指永远是自变量x的范围． [例1] (1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A．(－∞，)　　　　 B．(，1) C．(－，) D．(－∞，)∪(，1) (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　) A．[－，0] B．[－，3] C．[0,1] D．[－，1] [解析]　(1)D　(2)C　[(1)由题意知，解得x<1且x≠，即f(x)的定义域是(－∞，)∪(，1)． (2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]．] [变式训练] 1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有(　　) A．7个　　 B．8个　　C．9个　　　D．10个 解析：C　[由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}， 当x＝±1时，y＝1； 当x＝±2时，y＝4， 则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1、2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2)，因此“同族函数”共有9个．] 　　　求函数的解析式 　求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法． (3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f()，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． [例2] (1)已知f(－1)＝x－2，则f(x)的解析式为________． (2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且∀x，y∈R，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝________. 解析：(1)f(x)＝x2－1(x≥－1)　(2)x2＋x＋1 [(1)法一(换元法)　令t＝－1，t≥－1，则x＝(t＋1)2，所以f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＝t2－1(t≥－1)， 所以函数的解析式为 f(x)＝x2－1(x≥－1)． 法二(配凑法)　f(－1)＝x－2 ＝x－2＋1－1＝(－1)2－1. 因为－1≥－1，所以函数的解析式为 f(x)＝x2－1(x≥－1)． (2)法一　由已知条件得f(0)＝1， 又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， 令y＝x，则f(x－y)＝f(0) ＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1， 所以f(x)＝x2＋x＋1. 法二　令x＝0，得 f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)， 即f(－y)＝1－y(－y＋1)， 将－y用x代换得f(x)＝x2＋x＋1.] [变式训练] 2．(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝________； (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为________； (3)若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为________． 解析：(1)令x＋1＝t， 则x＝t－1， 因为f(x＋1)＝x2－5x＋4， 所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10， 所以f(x)＝x2－7x＋10. (2)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得解得 (3)令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R， 原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，① 以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，② 由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋， 故f(x)＝2x＋. 答案：(1)x2－7x＋10 (2)f(x)＝x2＋1 (3)f(x)＝2x＋ 　　　分段函数 1．求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． 3．在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． [例3] 设f(x)＝.若f(a)＝f(a＋1)，则f()＝(　　) A．2　　 B．4　　　C．6　　　D．8 解析：C　[当0<a<1时，a＋1>1， f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∵f(a)＝f(a＋1)， ∴＝2a，解得a＝. ∴f()＝f(4)＝2×(4－1)＝6.] [变式训练] 3.根据如图所示的函数f(x)的图像，写出函数的解析式． 解：当－3≤x<－1时，函数f(x)的图像是一条线段(右端点除外)， 设f(x)＝ax＋b(a≠0)．将点(－3,1)， (－1，－2)代入， 可得解得 可得f(x)＝－x－； 当－1≤x<1时，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入上式可求得c＝，d＝－， ∴f(x)＝x－； 当1≤x<2时，f(x)＝1. 综上所述， f(x)＝ 　　　函数的单调性与奇偶性 　函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围． [例4] (1)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2 (2)已知f(x)＝(x≠a)． ①若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； ②若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． (1)[解析]D　[因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以，|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D.] (2)[解]　①证明：∀x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增． ②∀1<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1. 综上所述，a的取值范围是(0,1]． [变式训练] 4．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(1)＝. (1)求f(x)的解析式； (2)用定义法证明：f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)若实数t满足f(2t－1)＋f(t－1)<0，求实数t的范围． 解　(1)∵函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f(0)＝0，∴b＝0， 又f(1)＝，即＝，∴a＝1， ∴f(x)＝(经检验符合题意)． (2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2， 那么f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. ∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0， 1－x1x2>0,1＋x>0,1＋x>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(－1,1)上是增函数． (3)　f(2t－1)＋f(t－1)<0， ∴f(2t－1)<－f(t－1)， 又由已知f(x)＝是(－1,1)上的奇函数， ∴f(2t－1)<f(1－t)． ∵f(x)＝是(－1,1)上的增函数， ∴ 即t的取值范围为(0，)． 　　　函数的图像及应用 　作函数图像的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数的图像的平移、伸缩、对称、翻转． ②对称：y＝f(x)y＝f(－x)； y＝f(x)y＝－f(x)； y＝f(x)＝y＝－f(－x)． 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． [例5] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x. (1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示，请把函数f(x)的图像补充完整，并根据图像写出函数f(x)的增区间； (2)写出函数f(x)的值域． [解]　(1)由f(x)为偶函数可知，其图像关于y轴对称，如图所示，作出已知图像关于y轴对称的图像，即得该函数的完整图像．由图可知，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的增区间是(－1,0)，(1，＋∞)． (2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函数的性质可得f(x)≥－1，即函数的值域为[－1，＋∞)． [变式训练] 5．(1)已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是(　　) (2)对于函数f(x)＝x2－2|x|. ①判断其奇偶性，并指出图像的对称性； ②画此函数的图像，并指出单调区间和最小值． (1)(1)D　[因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，f(1)＝0，则可知开口向上，排除A、C，然后根据f(0)＝c<0，可知函数图像与y轴的交点在x轴下方．] (2)解：①函数的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 图像关于y轴对称． ②f(x)＝x2－2|x| ＝ 画出图像如图所示， 根据图像知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0,1]． 　　　二分法求方程的根 求函数的零点或方程的根，对于特殊的函数或方程，我们可以通过公式法、因式分解求零点或根．对于一般的函数或方程，不能用公式法或因式分解求零点或根时，我们可以用二分法求其近似解，用二分法求解时，注意二分法使用的条件和步骤． [例6] 借助计算器，用二分法求f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x在区间(1,2)的近似零点值(精确到0.1)． [解]　由f(x)＝ln(2x＋6)－3x＋2， 用计算器作出如下对应值表： x －2 －1 0 1 2 f(x) 2.582 0 3.053 0 2.791 8 1.079 4 －4.697 4 观察上表，可知零点在(1,2)内，取区间中点x1＝1.5，且f(1.5)≈－1.00，从而零点在(1,1.5)内；再取区间中点x2＝1.25，且f(1.25)≈0.20，从而可知零点在(1.25,1.5)内． 同理取区间中点x3＝1.375，且f(1.375)<0，从而可知零点在(1.25,1.375)内． 同理取区间中点x4＝1.312 5，且f(1.312 5)<0，从而可知零点在(1.25,1.312 5)内． 由于|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，此时区间(1.25，1.312 5)内任一值精确到0.1后都是1.3，故原函数在区间(1,2)内的近似零点为1.3. [变式训练] 6．(1)判断方程2x3－6x2＋3＝0是否有解？如果有解，有几个解，且全部解的和为多少(精确度为0.01，解保留两位小数)? (2)已知方程2x3－6x2＋5＝0的近似解为－0.81,1.17,2.64,2x3－6x2＋7＝0的近似解为－0.94,1.56,2.38，结合(1)你可以得出什么结论？ 解析：(1)设函数f(x)＝2x3－6x2＋3. ∵f(－1)＝－5<0，f(0)＝3>0，f(1)＝－1<0，f(2)＝－5<0，f(3)＝3>0，且函数f(x)＝2x3－6x2＋3的图像是一条连续的曲线，∴函数f(x)＝2x3－6x2＋3在区间(－1,0)，(0,1)，(2,3)上分别有一个零点， ∴方程2x3－6x2＋3＝0有3个实数解． ∵f(－1)·f(0)<0，∴函数f(x)在区间(－1,0)内有一个零点x0. 取区间(－1,0)的中点x2＝－0.5，用计算器计算得 f(－0.5)＝1.25>0. ∵f(－1)·f(－0.5)<0，∴x0∈(－1，－0.5)． 再取(－1，－0.5)的中点x1＝－0.75，用计算器计算得 f(－0.75)＝－1.218 75<0. ∵f(－0.75)·f(－0.5)<0，∴x0∈(－0.75，－0.5)． 同理可得，x0∈(－0.75，－0.625)， x0∈(－0.687 5，－0.625)． x0∈(－0.656 25，－0.625)， x0∈( －0.656 25，－0.640 625)， x0∈(－0.648 437 5，－0.640 625)． 由于|－0.640 625－(－0.648 437 5)|＝0.007 812 5<0.01， 因此方程2x3—6x2＋3＝0在区间(－1,0)内的解在区间(－0.648 437 5，－0.640 625)内． 由于结果要保留两位小数，我们多计算一步得到： x0∈(－0.644 531 25，－0.640 625)． ∴方程2x3－6x2＋3＝0在区间(－1,0)内的近似解为－0.64. 同理，可求得方程2x3－6x2＋3＝0在区间(0,1)和(2,3)内的近似解分别为0.83,2.81. ∴方程2x3－6x2＋3＝0的3个解的和为－0,64＋0.83＋2.81＝3. (2)方程2x3－6x2＋5＝0,2x3－6x2＋7＝0的全部近似解的和都是3.得出如下结论： 一般地，若一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0(a≠0)有3个根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－. 　　　函数的应用 　在本章中，数学建模主要体现在函数模型的应用中． 　在建立模型的过程中，要遵循以下基本原则： (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，可通过一些假设来减少系统中的变量个数，尽量建立较简单的模型，即在建立模型时，应采用尽可能简单的数学工具，但又必须能反映现实原型的本质特征和关系． (2)可推算原则：建立的数学模型一定要有意义，对其既能进行理论分析，又能计算和推理，且能推算出一些确定的结果．若建立的数学模型在数学上是不可推算的，得不出确定的可以应用于原型的结果，那这个模型就没有价值． (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有一定的“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题． [例7] 某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同．现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工．设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(k∈N*)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x)． (1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式； (2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？ [解]　(1)由已知A型零件需要生产4 500个，B型零件需要生产1 500个，加工B型零件的工人有(214－x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个． 所以g(x)＝＝， h(x)＝＝. 则g(x)－h(x)＝－＝·. 因为0<x<214，且x∈N，k∈N*，所以当0<x≤137时，g(x)>h(x)， 当137<x<214时，g(x)<h(x)． 所以f(x)＝其中x∈N. (2)因为当0<x≤137时，f(x)为减函数，当137<x<214时，f(x)为增函数，且＝·＝<1，所以当x＝137时f(x)的值最小，即安排137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少． [变式训练] 7．为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市，经过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下： 上市时间x天 1 2 6 市场价y元 5 2 10 (1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系：①一次函数；②二次函数，并求出函数的解析式； (2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格． 解：(1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大， 而模型①为单调函数，不符合题意， 故选择二次函数模型②， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由表中数据可知 解得 ∴f(x)＝x2－6x＋10(x≥0)， (2)由(1)知，f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， ∴当x＝3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元， 故黑山谷纪念邮票上市第3天时市场价最低，最低的价格为1元． 学科网（北京）股份有限公司 $$