2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　均值不等式的应用 课程标准 素养解读 掌握均值不等式≤(a，b≥0)．结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题 通过学习均值不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养 [情境引入] (1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？ [问题]　实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 提示　这两个都是求最值问题．第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤()2＝252＝625，当且仅当x＝y＝25时取等号，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大．第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小值，x＋y≥2＝2＝200，当且仅当x＝y＝100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省． [知识梳理] [知识点]　 1．用均值不等式求最值． ①设x，y为正实数，若x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为. ②设x，y为正实数，若xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为 2 . 2．均值不等式求最值的条件 ①x，y必须是正数． ②求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值． ③等号成立的条件是否满足． [预习自测] 1．若(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　) A．1＋　 B．2　　　C．3　　　D．4 答案：B 2．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　) A．18　　 B．16　　　C．8　　　D．10 答案：A 3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________． 答案：2 　　　利用均值不等式求最值 [例1] (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值； (2)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x>2，求x＋的最小值． [思路点拨]　(1)直接应用均值不等式求最值 . (2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]． (3)x＋＝x－2＋＋2. (4)利用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可． [解析]　(1)∵x>0， ∴x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号． ∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4. (2)∵0<x<，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2[]2＝. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∵∈(0，)， ∴函数y＝4x(3－2x)(0<x<)的最大值为. (3)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋＝x－2＋＋2 ≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝， 即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6. 1．常数代换法求最值的方法步骤 　常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用均值不等式求解最值． 2．含有多个变量的条件最值问题的解决方法 　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用均值不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 3．应用均值不等式求最值的原则 利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可． 4．均值不等式的常见变形 (1)a＋b≥2； (2)ab≤()2≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)． [变式训练] 1．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0.求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解析：(1)xy＝2x＋8y≥2，当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时等号成立， ∴≥8，∴xy≥64， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋8＝18， 当且仅当＝. 即x＝12，y＝6时等号成立， ∴x＋y的最小值为18. 　　　利用均值不等式求参数的值(范围) [例2] 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　) A．10　　 B．9　　　C．8　　　D．7 [思路点拨]　a>0，b>0时，＋≥恒成立，等价于m≤(2a＋b)(＋)恒成立，利用均值不等式求解． 解析：B　[因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使＋≥恒成立， 只需m≤(2a＋b)(＋)恒成立， 而(2a＋b)(＋)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.] 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化． (3)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B. [变式训练] 2．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. 解析：因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值，又因为x＝3，所以a＝4×32＝36. 答案：36 　　　利用均值不等式解决实际问题 [例3] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ [思路点拨]　设出长和宽，列出面积公式． [解]　(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝. 则S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·＋160 ＝80(2＋)＋4 160(x>1)． (2)因为80(2＋)＋4 160≥80×2＋4160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100，所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米． 利用均值不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． [变式训练] 3．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)． (1)将2021年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数； (2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－， 又每件产品的销售价格为1.5×元， ∴y＝x(1.5×)－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m ＝4＋8(3－)－m ＝－[＋(m＋1)]＋29(m≥0)． (2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立， ∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21. 故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元． 1．已知x>－2，则x＋的最小值为(　　) A．－　　　　　　 B．－1 C．2 D．0 答案：D 2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　) A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处 答案：A 3．已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________． 答案：2＋ 4．若对任意x>0，≤a恒成立．则a的取值范围是________． 答案： 5．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解：设该厂每x天购买一次面粉．其购买量为6x吨． 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)， 当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 学科网（北京）股份有限公司 $$