2.2.4 第1课时 均值不等式 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

2．2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 课程标准 素养解读 掌握均值不等式≥(a，b都是正数)．能用均值不等式解决问题 通过学习均值不等式及其简单应用，重点培养数学运算、逻辑推理素养 [情境引入] (1)对∀a、b∈R.a2＋b2与2ab的大小如何？ (2)在图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.可得到CD＝，AB＝，由CD小于或等于圆的半径，可得出什么样的不等关系？ 提示：(1)a2＋b2≥2ab　(2)≤ [知识梳理] [知识点一]　重要不等式与均值不等式 1．重要不等式 ∀a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab ，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．均值不等式 如果a>0，b>0，有≤，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的 算术平均数 ，叫做正数a，b的 几何平均数 ． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数． 1.均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 2．均值不等式成立的条件“a，b>0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如≥是不成立的． [知识点二]　均值不等式与最值 已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值p(积为定值)，那么当 x＝y 时，和x＋y有最小值 2 ； (2)如果和x＋y等于定值s(和为定值)，那么当 x＝y 时，积xy有最大值s2. 3.x＋上的最小值是2吗？ 提示：当x>0时，x＋的最小值是2. 当x<0时，x＋没有最小值． [预习自测] 1．(多选)下列结论正确的是(　　) A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立 B．若a，b同号，则＋≥2 C．若a>0，b>0，则ab≤恒成立 D．若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 答案：BD 2．已知x>0，则3x＋的最小值为(　　) A．3　　 B．2　　　C．3　　　D．2 答案：D 3．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________． 答案：x>2y 　　　利用均值不等式比较大小 [例1] 设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<<　 B．a<<<b C．a<<b< D.<a<<b [思路点拨]　当a>0，b>0时，≥，当且仅当a＝b时取等号，注意等号成立的条件． [解析]　法一　∵0<a<b，∴a<<b，排除A，C两项． 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B. 法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a<<<b. 答案：B 利用基本等式比较实数大小的注意事项 (1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. [变式训练] 1．比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)． 解析：＝＋≥2，当且仅当＝.即x＝0时，等号成立． 答案：≥ 　　利用均值不等式判断不等式的成立 [例2] (1)下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 (2)给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [思路点拨]　根据均值不等式成立的条件判断． 解析：(1)a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错．由均值不等式可知D项正确． (2)当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以． 答案：(1)D　(2)C 不等式a2＋b2≥2ab与a＋b≥的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． [变式训练] 2．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 答案：D 　　　利用均值不等式证明不等式 [例3] (1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； (2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3. [思路点拨]　利用均值不等式证明不等式，注意等号成立的条件． 证明　(1)∵a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号) ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. (2)因为a，b，c全不相等， 所以与，与，与全不相等， 所以＋>2，＋>2，＋>2， 三式相加得，＋＋＋＋＋>6， 所以(＋－1)＋(＋－1)＋(＋－1)>3， 即＋＋>3. 利用均值不等式证明不等式的注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型再使用． [变式训练] 3．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：(－1)(－1)(－1)>8. 证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1， 所以－1＝＝>，① －1＝＝>，② －1＝＝>，③ 又x，y，z为正数，由①×②×③，得 (－1)(－1)(－1)>8. 1．下列不等式成立的是(　　) A．ab≤　　　　 B．ab≥ C．a＋b≥2 D．a＋b≤2 答案：A 2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C.<v< D．v＝ 答案：A 3．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________． 答案：x<y 4．若a>0，b>0.a＋b＝2.则下列不等式①ab≤1，②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2.对满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)． 答案：①③④ 5．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1， 证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc. 证明：∵a＋b＋c＝1， ∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b) ≥2·2·2＝8abc， 当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立． 故(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)． 学科网（北京）股份有限公司 $$