2.1.3 方程组的解集 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

2．1.3　方程组的解集 课程标准 素养解读 1.了解方程组及其解集的定义 2.掌握求方程组解集的常用方法 3.了解方程组中方程个数、未知数个数对方程组解集的影响 通过求方程组解集的方法提升数学逻辑和数学运算素养 [情境引入] 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z， 则当z＝81时，x＝________，y＝________. 提示　法一　由题意得 即解得 法二　100－81＝19(只)，81÷3＝27(元)． 假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元)． 因为95－73＝22(元)． 所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)， 鸡翁：19－11＝8(只)． [知识梳理] 1．方程组的解集概念 一般地，将多个方程联立．就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2．求方程组的解集的方法 求方程组解集的依据还是等式的性质等，常用的方法是 消 ． 3．方程组的解集 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有 无穷多 个元素．此时，如果将其中一些未知数看成 常数 ，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 1.常见的消元法有哪两种？ 提示：加减消元和代入消元． 2．解二元二次方程组的基本思路是什么？ 提示：“消元”与“降次”． [预习自测] 1．某年级学生共有246人．其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的是(　　) A.　　　　 B. C. D. 解析：B　[由题意得] 2．二元一次方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}，则2m－n的算术平方根为________． 解析：由题意得 解得∴2m－n＝4，∴＝2. 答案：2 3．若|x＋y－5|＋(x－y－9)2＝0，则x，y的值分别为________． 解析：由题意知 ①＋②得2x－14＝0，即x＝7， ①－②得2y＋4＝0，即y＝－2. 答案：7　－2 　　　求二元一次方程组的解集 [例1] 求方程组的解集． [思路点拨]　利用代入消元法或加减消元法求二元一次方程组的解集． [解]　法一　由②，得y＝4x－5　③， 把③代入①，得2x＋3(4x－5)＝－1， 解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}， 法二　由①，得3y＝－2x－1，即y＝　③， 把③代入②，得4x－＝5， 解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}． 法三　①×2－②得y＝－1，代入②得x＝1， 所以这个方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}． 1．用代入消元法解二元一次方程组的步骤 (1)变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b是常数，a≠0)的形式 (2)代入 把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 (3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 (4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程，求出另一个夫知数 (5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式 2．用加减消元法解二元一次方程组的步骤 (1)变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 (2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 (3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 (4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值 (5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式 [变式训练] 1．求下列二元一次方程组的解集． (1) (2) 解：(1)原方程组可变形为 ③－④，得6y＝27，解得y＝， 把y＝代入④，得3x－9＝9，解得x＝6. 所以这个方程组的解集为. (2)原方程组可变形为 把④代入③，得5y－24＋5y＝36，解得y＝6， 把y＝6代入④，得x＝5×6－24＝6. 所以这个方程组的解集为{(x，y)|(6,6)}． 　　　求三元一次方程组的解集 [例2] 求下列方程组的解集 (1) (2) [思路点拨]　求三元一次方程组解集时，首先将系数较为简单的未知数消去，将“三元”转化为“二元”，再解二元一次方程组即可；或根据各未知数系数的特点，直接将方程相加(减)进行简便运算． [解]　(1)法一　①×2＋②，得5x＋8y＝7　 ④， ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，所以z＝1. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1)，1}． 法二　由③，得y＝2x－7　④， 把④代入①，整理得7x＋2z＝23　⑤， 把④代入②，整理得7x－4z＝17　⑥， ⑤与⑥组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3代入④，得y＝－1. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1,1)}． (2)法一　由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5. 设x＝3k，y＝2k，z＝5k(k≠0)，并代入③，得5k＋3k＋2k＝20， 解得k＝2. 所以x＝3k＝6，y＝2k＝4，z＝5k＝10. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6,4,10)}． 法二　由①，得x＝y　④， 由②，得z＝y　⑤. 把④和⑤代入③，得 y＋y＋y＝20，解得y＝4. 把y＝4分别代入④和⑤， 得x＝6，z＝10. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6,4,10)}． 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元 把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组 (2)求解 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值 (3)回代 将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程 (4)求解 解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值 (5)写解集 把方程组的解用集合表示出来 [变式训练] 2．求方程组的解集． 解：已知方程组 ①＋②，得5x－z＝14. ①＋③，得4x＋3z＝15. 解方程组得 把x＝3，z＝1代入③，得y＝8. 所以原方程组的解集为{(3,8,1)}． 　　　求二元二次方程组的解集 [例3] 求下列方程组的解集 (1) (2) [思路点拨] 1．对形如的方程组可用代入法． 2．对形如 的方程组可通过“降次”转化为1中的形式求解． [解]　(1)把①代入②得x2＋(x＋1)2＝13. 整理得x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2. 把x1＝－3代入①，得y1＝－2， 把x1＝2代入①，得y2＝3， 所以原方程组的解集为{(x，y)|(－3，－2)，(2,3)}． (2)方程组可化为 即为或 或或 解得或或或 所以原方程组的解集为 . 1．“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解，把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程，由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况；一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断． 2．解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是： (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解． (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解． [变式训练] 3．解下列方程组 (2) 解：(1)由②，得y＝2x－1　③， 把③代入①，整理，得15x2－23x＋8＝0. 解这个方程，得x1＝1，x2＝. 把x1＝1代入③，得y1＝1； 把x2＝代入③，得y2＝. 所以原方程组的解集为 . (2)由②得(x－y－3)(x－y＋1)＝0. 所以x－y－3＝0或x－y＋1＝0. 所以原方程组可化为两个方程组： 用代入消元法解方程组，分别得 所以原方程组的解集为. 1．下列方程组中，只有一个解的是(　　) A.　　　 B. C. D. 解析：C　[A、B无解，D有无穷多解，C只有一个解．] 2．已知与都是方程y＝kx＋b的解，则k与b的值分别为(　　) A．k＝，b＝－4 B．k＝－，b＝4 C．k＝，b＝4 D．k＝－，b＝－4 解析：A　[把分别代入y＝kx＋b，得－2＝4k＋b①，－5＝－2k＋b②. 解①②组成的方程组得] 3．下列四个集合中方程组的解集是(　　) A．{(x，y，z)|(0,1，－2)} B．{(x，y，z)|(1,0,1)} C．{(x，y，z)|(0，－1,0)} D．{(x，y，z)|(1，－2,3)} 解析：D　[ ①＋②得3x＋y＝1　④ ③－②得x＝1 将x＝1代入④得y＝－2 将x＝1，y＝－2代入②得z＝3.] 4．方程组的一个解为那么这个方程组的另一个解是________． 解析：由题意，得a＝5，b＝6，x，y是方程z2－5z＋6＝0的两根，∴或 答案： 5．求方程组的解集． 解：由，①式可化为(2x－3y)(2x＋3y)＝15.③ 把②代入③，易得2x＋3y＝3，于是原方程组可化为解得 所以原方程组的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$