2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课程标准 素养解读 1.能利用判别式Δ的值判定一元二次方程根的个数 2.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围 通过一元二次方程根与系数的关系提升数学抽象与数学运算素养 [情境引入] 小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项，解得两根为2，－3，而小华看错常数项．解得两根为－2,5，那么原方程的解析式是什么？ 提示　x2－3x－6＝0 [基础梳理] [知识点一]　一元二次方程的有关概念 　形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0.其中二次项是 ax2 ，一次项是 bx ， c 是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 1.ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数)叫做一元二次方程吗？ 提示：当a＝0时，不是一元二次方程． [知识点二]　一元二次方程的解集 1．一般地，方程x2＝t 　①当t>0时，解集为{，－}； ②当t＝0时，解集为 {0} ； ③当t<0时．解集为 ∅ . 2．一般地，方程(x－k)2＝t 　①当t>0时，解集为{k＋，k－}； ②当t＝0时，解集为 {k} ； ③当t<0时，解集为 ∅ . 3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式及求根公式 　一般地，Δ＝ b2－4ac 称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． Δ>0⇔ 有两个不相等的实根 ；Δ＝0⇔ 有两个相等的实根 ； Δ<0⇔ 无实数根 ． 当Δ≥0时，x1＝，x2＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式． 4．一元二次方程的解集 　实系数一元二次方程有实数根的充要条件是Δ≥0 设ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ①当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为 ； ②当Δ＝b2－4ac＝0时．方程的解集为； ③当Δ＝b2－4ac<0，方程的解集为∅. 2.一元二次方程均可化为(x－k)2＝t的形式吗？ 提示：是 3．一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定吗？ 提示：是 4．一元二次方程(系数均为实数)有两个根，它的解集是否一定有两个元素？ 提示：当一元二次方程的判别式为零时，方程有两个相等的实数根，其解集只有一个元素． [知识点三]　一元二次方程根与系数的关系 1．设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则有 2．常用的几个变形 　①x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； ②(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ③x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)； ④|x1－x2|＝＝； ⑤＋＝. [预习自测] 1．下列方程中．是关于x的一元二次方程的是(　　) A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B.＋－2＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1 解析：A　[A中方程可化为3x2＋4x＋1＝0，是一元二次方程；B中方程是关于的一元二次方程；对C，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程；D中方程可化为2x＝－1，不是一元二次方程．] 2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于(　　) A．－1　 B．0　　　C．1　　　D．2 解析：C　[由题意m2－m－1＝0，即m2－m＝1.] 3．若方程x2－mx＋m－1＝0的一个实数根为2，则方程的另一个实数根为________． 解析：设另一个根为a. 根据题意可得a＋2＝m,2a＝m－1， ∴a＋2＝2a＋1，∴a＝1， ∴另一个根为1. 答案：1 　　　方程根个数的判断及应用 [例1] 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根． [思路点拨]　(1)分m＋1＝0和m＋1≠0两种情况求解． (2)一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝0. [解]关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程，Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0. 解得m≥－且m≠－1. 综上可知：当m≥－时，方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (2)∵关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0， 解得m＝－，∴方程为－x2－3x－＝0， 两边同时乘以－2，得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0， 解得x1＝x2＝－3. 只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac，(1)“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”；(2)“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”；(3)“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”；(4)“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”． [变式训练] 1．已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围． (1)方程有两个不相等的实数根： (2)方程有两个相等的实数根． 解：Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)． (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1－3k)>0， 所以k<. (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0， 所以k＝. 　　　求一元二次方程的解集 [例2] 用适当的方法求下列方程的解集． (1)x2－2x－8＝0；(2)2x2－7x＋6＝0； (3)(x－1)2－2x＋2＝0. [思路点拨]　根据方程特点选择不同的方法求解． [解]　(1)法一　移项，得x2－2x＝8， 配方，得(x－1)2＝9，由此可得x－1＝±3 ∴x1＝4，x2＝－2，∴方程的解集为{－2,4}． 法二　原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0， ∴x－4＝0或x＋2＝0，∴x1＝4，x2＝－2， ∴方程的解集为{－2,4}． (2)法一　原方程可化为(x－2)(2x－3)＝0 ∴x－2＝0或2x－3＝0，∴x1＝2，x2＝， ∴方程的解集为{2，}． 法二　∵a＝2，b＝－7，c＝6，∴Δ＝b2－4ac＝1>0， ∴x＝＝，即x1＝2，x2＝， ∴方程的解集为{2，}． (3)原方程可化为(x－1)2－2(x－1)＝0. 提取公因式，得(x－1)(x－1－2)＝0. ∴x－1＝0或x－3＝0， ∴x1＝1，x2＝3，∴方程的解集为{1,3}． (1)解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法．公式法是解一元二次方程的通用方法，可以解所有的一元二次方程． (2)用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①移项：将方程化为一般形式． ②分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积． ③转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程． ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解． [变式训练] 2．求下列方程的解集． (1)x4－3x2＋2＝0；(2)x＋2－1＝0； (3)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0. 解：(1)令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0， ∴y＝1或y＝2，即x2＝1或x2＝2， ∴x＝±1或x＝±. ∴原方程的解集为{－，－1,1，}． (2)令y＝≥0，得y2＋2y－1＝0， ∴y＝－1＋或y＝－1－(舍)． 从而＝－1＋，即x＝3－2， ∴原方程的解集为{3－2}． (3)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，∴t1＝－1或t2＝2， 即x2－x＋1＝0　①或x2－x－2＝0　② 对①，Δ＝－3<0，无实数解； 对②，易得x＝－1或x＝2，故原方程的解集为{－1,2}． 　　　直接应用根与系数的关系进行计算 [例3] 已知一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根为x1和x2，求下列各式的值： (1)x＋x； (2)|x1－x2|(x1＋x2)． [思路点拨]　利用根与系数的关系x1＋x2＝－，x1·x2＝，直接求解． [解]　由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝－2，x1x2＝－3. (1)x3＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x) ＝(－2)[(x1＋x2)2－3x1x2] ＝(－2)[(－2)2－3×(－3)]＝－26. (2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝(－2)2－4×(－3)＝16. 所以|x1－x2|＝＝4， 所以|x1－x2|(x1＋x2)＝4×(－2)＝－8. 1．在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值． 2．应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点： (1)当一元二次方程不是一般形式时．要先化为一般形式． (2)应用时，不要漏掉“－”号． (3)应用根与系数的关系公式前，首先确定判别式Δ的值，Δ≥0是应用公式的前提． [变式训练] 3．(1)若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个根，则xx2＋x1x的值是________． (2)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，则＋＝________. (1)解析：由一元二次方程的根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－5，所以xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2)＝(－5)×(－3)＝15. 答案：15 (2)解析：由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3， 所以＋＝ ＝ ＝ ＝10. 答案：10 　　　应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 [例4] 已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值． (1)方程两实根的积为5； (2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2. [思路点拨]　先满足Δ≥0，再利用根与系数的关系构造不等式． [解]　Δ＝[－(k＋1)]2－4×(k2＋1)＝2k－3，Δ≥0，k≥. (1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5， k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)． (2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝. 方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝>0满足． ②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1. 方程为x2＋＝0，而方程无解， 所以k≠－1，所以k＝. 利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0. [变式训练] 4．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值． 解：(1)由Δ＝[－2(k－1)]2－4k2＝4(1－2k)≥0，得k≤，即k的取值范围是. (2)由根与系数的关系，得 ∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1　① ∵k∈，∴k－1≤－，∴①可化为－2＝k＋1， ∴k＝－3. 1．若一元二次方程x2＝m有解，则m的取值为(　　) A．正数　　　　　 B．非负数 C．一切实数 D．零 解析：B　[当m≥0时，一元二次方程x2＝m有解，故选B.] 2．一元二次方程3x2－1＝2x＋5的两个实数根的和与积分别是(　　) A.，－2 B.，－2 C．－，2 D．－，2 解析：B　[设这个一元二次方程的两个实数根分别为x1，x2，方程3x2－1＝2x＋5化为一元二次方程的一般形式为3x2－2x－6＝0.∵a＝3，b＝－2，c＝－6，∴x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝＝－2.故选B.] 3．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两实数根，则α2＋αβ＋β2的值为(　　) A．－1　　 B．9　　　C．23　　　D．27 解析：D　[由根与系数的关系，得 则α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ＝52＋2＝27.] 4．若方程x2－3x－1＝0的两根为x1，x2，则＋的值为(　　) A．3　 B．－3　　C.　　D．－ 解析：B　[由根与系数的关系得：x1＋x2＝－＝3 x1·x2＝＝－1 ∴＋＝＝－3.] 5．求下列方程的解集： (1)x4－2x2－8＝0；(2)－－1＝0. 解：(1)令y＝x2(y≥0)，则原方程可变为y2－2y－8＝0， ∴y＝4或y＝－2(舍去)，即x2＝4，∴x＝±2，∴原方程的解集为{2，－2}． (2)令y＝≠0，则原方程可化为6y2－y－1＝0. ∴(3y＋1)(2y－1)＝0， ∴y＝－或，即＝－或. ∴x＝－3或2，∴原方程的解集为{－3,2}． 学科网（北京）股份有限公司 $$