2.1.1 等式的性质与方程的解集 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

2．1　等式 2．1.1　等式的性质与方程的解集 课程标准 素养解读 1.能用符号语言和量词表示等式的性质 2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式 3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形．求一些方程的解集 通过利用等式的性质和恒等式的变形培养数学运算、数学抽象、逻辑推理素养 [情境引入] 有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其它动物，有一天它遇见老虎．狐狸说：“我发现了2和5可以相等．我这里有一个方程5x－2＝2x－2. 等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2， 即5x＝2x　① 等式两边同时除以x，得5＝2　②” 老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．你认为狐狸的说法正确吗？ 提问　如果正确，请说明理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正． 提示　不正确．错在②上，应改为等式两边同时加上－2x，得5x－2x＝2x－2x，即3x＝0，两边同乘以，得x＝0. [知识梳理] [知识点一]　等式的性质 (1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c ＝ b＋c； (2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac ＝ bc； (3)如果a＝b，则对任意c，都有a－c ＝ b－c； (4)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有 ＝ . 1.若ac＝bc，一定有a＝b吗？ 提示：不一定，当c≠0时，若ac＝bc，则a＝b. 2．若a＝b，一定有＝吗？ 提示：不一定，c≠0时，成立． [知识点二]　恒等式 1．恒等式的含义 一般地，含有字母的等式．如果其中的字母取 任意实数 时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 2．常见的代数恒等式 ①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 ②a2－b2＝(a＋b)(a－b) ③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2) a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2) ④(x＋a)(x＋b)＝ x2＋(a＋b)x＋ab (ax＋b)(cx＋d)＝ acx2＋(ad＋bc)x＋bd 3．十字相乘法 给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ ab 且C＝ a＋b ，则x2＋Cx＋D＝ (x＋a)(x＋b) ．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 C ，也正因为如此。这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． [知识点三]　方程的解集 1．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的 未知数 的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 2．方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x≠x2时解集为 {x1，x2} ，当x1＝x2时解集为 {x1} ． 3.方程是等式吗？ 提示：方程是等式． 4．x＋y＝1是恒等式吗？ 提示：x＋y＝1不是恒等式． 5．若Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)，则E，F，G与a，b，f，d之间有什么关系． 提示：E＝ac，F＝ad＋bc，G＝bd. [预习自测] 1．根据等式的性质，下列各式变形正确的是(　　) A．由x＝y，得x＝2y B．由3x－2＝4x＋2，得x＝4 C．由2x－3＝3x，得x＝3 D．由3x－5＝7，得3x＝7－5 解析：A　[对等式x＝y两边同乘以3，得x＝2y，A正确，B、C、D均不正确．] 2．若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是(　　) A．a＝10，b＝2　　　 B．a＝10，b＝－2 C．a＝－10，b＝－2 D．a＝－10，b＝2 解析：C　[因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b， 所以即] 3．方程x2＋2x－15＝0的解集为________． 解析：x2＋2x－15＝0， 即(x－3)(x＋5)＝0， 所以x＝3或x＝－5. 所以方程的解集为{3，－5}． 答案：{3，－5} 　　　代数式的化简 [例1] 计算下列各式 (1)(x－3y－4z)2； (2)(2a＋1－b)2－(a－b)(a＋2b)； (3)(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a＋b)3； (4)(a－4b)(a2＋4b2＋ab)． [思路点拨]　(1)在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． (2)注意乘法公式的正用、逆用及变形应用． [解]　(1)原式＝x2＋9y2＋16z2－6xy－8xz＋24yz. (2)原式＝4a2＋1＋b2＋4a－4ab－2b－(a2＋ab－2b2)＝3a2－5ab＋3b2＋4a－2b＋1. (3)原式＝a3＋b3－(a3＋3a2b＋3ab2＋b3)＝－3a2b－3ab2. (4)原式＝(a－4b)(a2＋4ab＋16b2)＝[a3－(4b)3]＝a3－16b3. 化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”： (1)先看是否能提取公因式； (2)再看能否套用公式； (3)再检查因式分解是否彻底； (4)最后用多项式乘法检验分解是否正确． [变式训练] 1．化简：a3(a－b)－8(a－b)． 解：a3(a－b)－8(a－b)＝(a－b)(a3－23) ＝(a－b)(a－2)(a2＋2a＋4)． 　　　因式分解 [例2] 分解因式 (1)3a3b－81b4； (2)a7－ab6； (3)x3＋9＋3x2＋3x； (4)x2－x－6； (5)2x2－3x＋1. [思路点拨]　根据式子的特点选择不同的方法分解因式． [解]　(1)原式＝3b(a3－27b3)＝3b(a－3b)(a2＋3ab＋9b2)． (2)法一：原式＝a(a6－b6)＝a(a3＋b3)(a3－b3) ＝a(a＋b)(a2－ab＋b2)(a－b)(a2＋ab＋b2) ＝a(a＋b)(a－b)(a2＋ab＋b2)(a2－ab＋b2)． 法二：原式＝a(a6－b6)＝a(a2－b2)(a4＋a2b2＋b4) ＝a(a＋b)(a－b)[(a2＋b2)2－a2b2] ＝a(a＋b)(a－b)(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)． (3)原式＝x3＋3x2＋3x＋9＝x2(x＋3)＋3(x＋3)＝(x＋3)(x2＋3)． 1．分组法分解因式就是将现有的多项式分解成几组多项式和的形式，然后再对每组进行分解，各组中若有公因式，再通过提取公因式法完成原多项式分解因式． 分组的目的是便于提取公因式或使用公式进行分解，有时需要拆项或添项完成． 2．在运用平方和(差)或立方和(差)公式分解因式时，经常要运用幂的运算法则，如a6＝(a2)3＝(a3)2，这是逆用了法则(am)n＝anm. 3．在运用平方和(差)或立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 4．对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)． [变式训练] 2．分解因式 (1)x2－3x＋2；(2)－x2＋(a－2)x＋2a. (3)x3＋6x2＋11x＋6. 解：(1)x3－3x＋2＝(x－1)(x－2)． (2)－x2＋(a－2)x＋2a＝(x＋2)(－x＋a)．　 (3)法一：x3＋6x2＋11x＋6＝(x3＋3x2)＋(3x2＋9x)＋(2x＋6) ＝x2(x＋3)＋3x(x＋3)＋2(x＋3) ＝(x＋3)(x2＋3x＋2) ＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)． 法二：x3＋6x2＋11x＋6 ＝(x3＋3x2)＋(3x2＋11x＋6) ＝x2(x＋3)＋(x＋3)(3x＋2) ＝(x＋3)(x2＋3x＋2) ＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)． 可用十字相乘法分解因式 3×3＋2×1＝11 　　　求方程的解集 [例3] (1)求关于x的方程ax＝1(其中a是常数)的解集； (2)求方程4x2－3x－1＝0的解集． [思路点拨]　(1)对于形如ax＝b(x为未知数，a，b为常数)的方程要注意a，b是否为零． (2)“十字相乘法”也是解一元二次方程的一种常见方法． [解]　(1)当a＝0时，0×x＝1无解，此时解集为∅； 当a≠0时，在方程ax＝1两边同时乘以，得x＝， 此时解集为；综上，当a＝0时，解集为∅；当a≠0时，解集为. (2)因为4x2－3x－1＝(x－1)(4x＋1)， 所以原方程可化为(x－1)(4x＋1)＝0， 所以x－1＝0或4x＋1＝0，即x＝1或x＝－， 故原方程的解集为. 1．解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤，(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号． 2．用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解． [提醒]　①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式． [变式训练] 3．(1)求关于x的方程ax＝0(其中a为常数)的解集； (2)求关于x的方程3x2－(6＋t)x＋2t＝0(其中t为常数)的解集． 解：(1)当a＝0时，解集为R； 当a≠0时，解集为{0}． (2)∵3x2－(6＋t)x＋2t＝(x－2)(3x－t)， 原方程可化为(x－2)(3x－t)＝0， ∴x－2＝0或3x－t＝0. 即x＝2或x＝， ∴当t＝6时，方程的解集为{2}； 当t≠6时，方程的解集为. 1．(多选)下列属于恒等式的有(　　) A．(a＋b)c＝ac＋bc B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C．4x＝2 020 D．(x－1)2＝0 解析：AB　[A、B属于恒等式；只有当x＝505时，等式4x＝2 020才成立，只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故选A、B.] 2．下列说法正确的是(　　) A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c B．在等式a＝b两边都除以c2＋1，可得＝ C．在等式＝两边都除以a，可得b＝c D．在等式2x＝2a－b两边同除以2。可得x＝a－b 解析：B　[对A，当a＝0时不正确；对B，∵c2＋1≠0。∴B正确；对C，等式＝两边都除以a可得＝.∴C不正确；对D在等式2x＝2a－b两边同除以2，得x＝a－，∴D不正确．] 3．计算(3a－2b)2的结果为(　　) A．9a2＋4b2　　　　　 B．9a2＋6ab＋4b2 C．9a2－12ab＋4b2 D．9a2－4b2 解析：C　[由完全平方公式得，原式＝9a2－12ab＋4b2.] 4．方程3x(x－2)＝2－x的解集为________． 解析：因为3x(x－2)＝2－x， 所以3x(x－2)－(2－x)＝0， 即3x(x－2)＋(x－2)＝0， 所以(x－2)(3x＋1)＝0， 所以x＝2或x＝－， 所以方程的解集为. 答案： 5．用因式分解法求下列方程的解集： (1)x＝x； (2)(x－3)2＋2x－6＝0； (3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0. 解：(1)x＝0， 即x＝0. 所以x＝0或x＝， 所以该方程的解集为. (2)(x－3)2＋2(x－3)＝0， (x－3)(x－3＋2)＝0， 所以x－3＝0或x－1＝0， 所以x＝3或x＝1， 所以该方程的解集为{3,1}． (3)[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0， 所以(10x－1)(2x＋19)＝0， 所以10x－1＝0或2x＋19＝0， 所以x＝或x＝－. 所以该方程的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$