1.1.3 第2课时 补集 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　补集 课程标准 素养解读 1.理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集 2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题 3.能借助Venn图，利用集合运算解决有关的实际应用问题 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养 [情境引入] 某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧)，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}． [问题]　没有获得金奖的学生有哪些？ 提示　没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}． [知识梳理] [知识点一]　全集 1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 所有元素 ，那么就称这个集合为全集． 2．记法：通常记作 U . 1.在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异。所以全集不一定是实数集． [知识点二]　补集 1．补集的概念 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的 所有元素 组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为 集合A的补集，记作 ∁UA 符号 语言 ∁UA＝ {x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 2.本质：补集既是集合之间的一种关系，又是集合的基本运算之一．补集是一个相对的概念，只相对于相应的全集而言． 3．作用： ①依据定义求集合的补集；②求参数的值或范围； ③补集思想的应用． 4．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝ U . (2)A∩(∁UA)＝ ∅ . (3)∁UU＝ ∅ ，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝ A . (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 2.∁UA，A，U三者之间有什么关系？ 提示：A⊆U，∁UA⊆U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. [预习自测] 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,3,4,6,7}，则集合∁UA＝(　　) A．{2,5,8}　　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8} 答案：A 2．设全集U＝R，集合A＝(1,4)，集合B＝[2,5)，则A∩(∁UB)等于(　　) A．[1,2) B．(－∞，2) C．[5，＋∞) D．(1,2) 解析：D　[∁UB＝(－∞，2)∪[5，＋∞) 如图，A∩(∁UB)＝(1,2)．] 3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________. 答案：5 　补集的运算 [例1] 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B. [思路点拨]　先求出全集U，再由∁UB求出B. [解]　借助Venn图，如图所示， 得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∵∁UB＝{1,4,6,8,9}， ∴B＝{2,3,5,7}． (1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解． (2)补集的几个性质：∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪∁UA＝U，解题时要注意使用． [变式训练] 1．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(　　) A．{4,8}　　　　 B．{0,2,6} C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10} 解析：C　[依据补集的定义，从集合A＝{0,2,4,6,8,10}中去掉集合B＝{4,8}，剩下的四个元素为0,2,6,10，故∁AB＝{0,2,6,10}，故应选答案C.] 　集合交、并、补的综合运算 [例2] (1)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)． (2)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求：A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B. [思路点拨]　(1)利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，求出∁UA及∁UB，然后求解． (2)可以依据交集、并集、补集的定义依次求解；在求(∁UA)∩(∁UB)时可以利用性质(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)简化运算；利用Venn图更直观简洁． [解]　(1)如图所示 ∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}， ∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}． ∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}． (2)解法一：A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}． ∵∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩{∁UB}＝{3,5}， (∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 解法二：A∩B，A∪B，A∩∁UB求法同解法一． (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{1,2,6}， ∁UA∪B＝∁U(A∩(∁UB))＝{1,2,4,6,7,8}． 解法三：画出Venn图，如图所示，观察此图可得，A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}， A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 解决集合交、并、补运算的技巧 1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． 2．如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． [变式训练] 2．(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝(　　) A．{2,5}　　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8) (2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝{x|x≤0，或x≥}，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 解析：(1)因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}， B＝{1,3,4,6,7)， 所以∁UB＝{2,5,8}． 又A＝{2,3,5,6}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}． (2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示． 因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}， 所以A∩B＝{x|－1<x<2}． ∁UB＝{x|x≤－1，或x>3}． 又P＝{x|x≤0，或x≥}， 所以(∁UB)∪P＝{x|x≤0，或x≥}．又∁UP＝{x|0<x<}， 所以(A∩B)∩(∁UP) ＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x<} ＝{x|0<x<2}． 答案：(1)A　(2)见解析 补集的综合应用 [例3] 已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求实数a的取值范围． [思路点拨]　解答本题可先求出∁RB，然后利用A∁RB 求出a的取值范围． [解]　∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠∅， ∵A∁RB， ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A＝∅，此时有2a－2≥a， ∴a≥2. ②若A≠∅，则有，或. ∴a≤1. 综上所述，a≤1，或a≥2. 解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题． [变式训练] 3．已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N＝N，则(　　) A．∁UM⊇∁UN　　　 B．M⊆∁UN C．∁UM⊆∁UN D．M⊇∁UN 解析： C　[∵M∩N＝N， ∴N⊆M，如图所示， ∴∁UM⊆∁UN.] 1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等于(　　) A．{2,3}　　　　　　 B．{1,4,5} C．{4,5) D．{1,5} 答案：B 2．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1)，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2) 答案：D 3．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________. 答案：{x|x<1，或x≥2} 4．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3，或x>4}，则a＋b＝________. 答案：7 5．设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6)， ∁UA＝{5}，求实数m. 解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A， 所以m2－m－1＝5， 解得m＝3或m＝－2. 当m＝3时，|3－2m|＝3≠5， 此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}； 当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5， 此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去． 综上，可知m＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$