3.2 第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[思路点拨]　根据函数零点与相应方程的根之间的关系，可知求函数的零点就是求相应方程的根． [解析]　(1)f(x)＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20) ＝－(x＋5)(x－4)，方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4. 故函数的零点是－5,4. (2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， 所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1，1. 1．准确理解函数的零点 函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图像求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0. [变式训练] 1．求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点． 解析：令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0， ∴x3－x－(6x－6)＝0， ∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝0， ∴(x－1)(x－2)(x＋3)＝0， 解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3， ∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3. 答案：1,2，－3 函数的零点个数问题 [例2] 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2，x<0，,x2－1，x>0))的零点个数是(　　) A．0　 B．1　　C．2　　D．3 [思路点拨]　分x<0和x>0，分别求零点． 解析：C　[当x<0时，令x＋2＝0，解得x＝－2； 当x>0时，令x2－1＝0，解得x＝1或x＝－1(舍)． 所以函数y＝f(x)有2个零点．] 根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根． 要注意的是同一个实数在方程中叫解或根，而在函数中称为零点，但不可以称为方程的零点或函数的根． 1．确定函数零点个数的方法 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)图像法：指数函数和对数函数零点个数问题一般用图像法来解决． (4)单调性法：常规方法不易判断时，可利用函数的单调性来判断函数零点的个数． 2．判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法 (1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数． (2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断． (3)图像法：如果函数图像易画出，则可依据图像与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图像的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数． [变式训练] 2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　) A．1　 B．2　　C．3　　D．4 解析：C　[∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f－4＝f0,f－2＝－2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(16－4b＋c＝c，,4－2b＋c＝－2，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝2，)) ∴当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋2.由x2＋4x＋2＝x，解得x1＝－1或x2＝－2， 当x>0时，x＝2. ∴方程f(x)＝x有三个解．] 二次函数的零点及其与对应方程、 不等式解集之间的关系 [例3] 1.解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2. 2．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)<x<\f(1,3)))，求不等式qx2＋px＋1>0的解集． [思路点拨]　1.根据一元二次方程的根、二次函数的图像及其不等式之间的关系求解． 2．根据一元二次方程根与系数的关系求p，q的值，再解不等式． [解]　1.(1) 因为Δ＝49，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x 1＝－3，x2＝eq \f(1,2)，所以作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－3<x<\f(1,2))). (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0， 因为Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝eq \f(3－\r(3),3)，x2＝eq \f(3＋\r(3),3)，所以作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，如图②所示，由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≤\f(3－\r(3),3)或x≥\f(3＋\r(3),3))). 2．∵x2＋px＋q<0的解集是{x|－eq \f(1,2)<x<eq \f(1,3)}， ∴－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的两实根，由根与系数的关系，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－p，,－\f(1,2)×\f(1,3)＝q，))即p＝eq \f(1,6)，q＝－eq \f(1,6)， ∴不等式qx2＋px＋1>0可化为－eq \f(1,6)x2＋eq \f(1,6)x＋1>0， 即x2－x－6<0，解得－2<x<3. ∴不等式qx2＋px＋1>0的解集是{x|－2<x<3}． 1．解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集． 2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图像在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． [变式训练] 3．(1)解下列不等式： ①4x2－4x＋1>0； ②－x2＋6x－10>0. (2)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求不等式cx2－bx＋a>0的解集． 解： (1)①∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝eq \f(1,2). ∴作出函数y＝4x2－4x＋1的图像如图． 由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). ②原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. (2)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a<0，)) 代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)． 即6x2＋5x＋1<0，解得－eq \f(1,2)<x<－eq \f(1,3)， 所以所求不等式的解集为{x|－eq \f(1,2)<x<－eq \f(1,3)}． 一元二次方程根的分布问题 [例4] 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围； (2)若方程有两个不相等实根均在区间(0,1)内，求m的取值范围． [思路点拨]　根据二次函数的图像对称轴及区间端点值判断． [解]　 (1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出图像如图所示： 由图像得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f－1＝2>0，,f0＝2m＋1<0，,f1＝4m＋2<0，,f2＝6m＋5>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<－\f(1,2)，,m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6)，)) 所以－eq \f(5,6)<m<－eq \f(1,2)，即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)，－\f(1,2))). (2)根据函数图像与x轴的两个交点均在区间(0,1)内，画出图像如图所示： 由图像得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ>0，,0<－m<1，,f0>0，,f1>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>1＋\r(2)或m<1－\r(2)，,－1<m<0，,m>－\f(1,2)，,m>－\f(1,2)，)) 所以－eq \f(1,2)<m<1－eq \r(2)， 即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1－\r(2))). 研究二次函数零点的分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑： (1)一元二次方程根的判别式； (2)对应二次函数区间端点函数值的正负； (3)对应二次函数图像——抛物线的对称轴直线x＝－eq \f(b,2a)与区间端点的位置关系． 设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表： 零点的分布 (m，n，p为常数) 图像 满足条件 x1<x2<m eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ>0,－\f(b,2a)<m,fm>0)) m<x1<x2 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ>0,－\f(b,2a)>m,fm>0)) x1<m<x2 f(m)<0 m<x1<x2<n eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ>0,m<－\f(b,2a)<n,fm>0,fn>0)) m<x1<n<x2<p eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fm>0,fn<0,fp>0)) 只有一个零点 在(m，n)之间 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝0,m<－\f(b,2a)<n)) 或f(m)·f(n)<0 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fm＝0,m<－\f(b,2a)<\f(m＋n,2))) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fn＝0,\f(m＋n,2)<\f(b,2a)<n)) [变式训练] 4．(1)已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z}有两个实数根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，则m的值为(　　) A．－4　 B．－5　　C．－6　　D．－7 (2)方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　) A．(－eq \f(23,5)，＋∞)　　　 B．(1，＋∞) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(23,5))) (1)解：A　[令f(x)＝x2＋mx＋3，∵一元二次方程x2＋mx＋3＝0 (m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<2<x2<4. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f2＝2m＋7<0，,f0＝3>0，,f4＝4m＋19>0，))解得－eq \f(19,4)<m<－eq \f(7,2).结合m∈Z.可得m＝－4，故选A.] (2)解析：C　[令f(x)＝x2＋ax－2， 易知f(0)＝－2， 结合题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f5≥0.))解得－eq \f(23,5)≤a≤1.] 1．函数f(x)＝x3－4x的零点为(　　) A．(0,0)，(2,0)　　　 B．(－2,0)，(0,0)，(2,0) C．－2,0,2 D．0,2 答案：C 2．(多选)函数f(x)＝eq \f(x2－2,x－2)的零点是(　　) A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝eq \r(2) D．x＝－eq \r(2) 答案：CD 3．函数f(x)＝x－eq \f(2,x)的零点是______． 答案：eq \r(2)，－eq \r(2) 4．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个． 解析：由f(x)＝0，得x－1＝0，①，或x2＋3x－10＝0，② 由①得x＝1. 由②得(x＋5)(x－2)＝0，解得x＝－5或x＝2. ∴y＝f(x)有3个零点． 答案：3 5．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1. (1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点； (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值． 解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4＋12(1－m)>0， 解得m<eq \f(4,3)； 函数有一个零点，即Δ＝0，解得m＝eq \f(4,3)； 函数无零点，即Δ<0，解得m>eq \f(4,3). 故当m<eq \f(4,3)时，函数有两个零点； 当m＝eq \f(4,3)时，函数有一个零点； 当m>eq \f(4,3)时，函数无零点． (2)由已知得，0是对应方程的根，所以有1－m＝0. 解得m＝1. $$