3.1.1 第2课时 函数的表示方法 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[解]　(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图像是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示． (2)由于0≤x＜3，故函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的部分，如图(b)． 求函数解析式 [例3] (1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9.求f(x)； (3)已知f(x)满足2f(x)＋f(eq \f(1,x))＝3x，求f(x)． [思路点拨]　(1)换元法，设x＋1＝t，求f(t)． (2)待定系数法． (3)构造方程组法，依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2fx＋f\f(1,x)＝3x,2f\f(1,x)＋fx＝\f(3,x)))，解方程组求解． [解析]　(1)方法一：(换元法)设x＋1＝t， 则x＝t－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2， 所以所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. 方法二：(配凑法) f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2， 所以所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. (2)(待定系数法)由题意， 设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)， 因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9， 所以3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9， 即2ax＋3a＋2b＝2x＋9， 由恒等式性质，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝2，,3a＋2b＝9，))所以a＝1，b＝3. 所以所求函数解析式为f(x)＝x＋3. (3)2f(x)＋f(eq \f(1,x))＝3x，① 将①中x换成eq \f(1,x)，得2f(eq \f(1,x))＋f(x)＝eq \f(3,x)，② ①×2－②得3f(x)＝6x－eq \f(3,x).所以f(x)＝2x－eq \f(1,x). 1．已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的两种方法： (1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围． (2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． 2．待定系数法求函数解析式 已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 3．已知关于f(x)与f(eq \f(1,x))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． [变式训练] 3．(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－3，求f(x)的解析式； (3)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式； (4)已知f(eq \r(x)－1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)的解析式． 解析：(1)设f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)，则f(3)＝eq \f(k,3)＝－6，解得k＝－18， 所以f(x)＝－eq \f(18,x)(x≠0)． (2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝4x－3， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2＝4,kb＋b＝－3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝2,b＝－1))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝3))， 所以f(x)＝2x－1或f(x)＝－2x＋3. (3)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f0＝c＝1,f1＝a＋b＋c＝2,f2＝4a＋2b＋c＝5))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝0,c＝1))，所以f(x)＝x2＋1. (4)方法一：(拼凑法)因为f(eq \r(x)－1)＝x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x)－1)2＋4(eq \r(x)－1)＋3，而eq \r(x)－1≥－1， 所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 方法二：(换元法)令t＝eq \r(x)－1， 则eq \r(x)＝t＋1，且t≥－1. 所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3， 即f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 分段函数的定义域、值域与最值 [例4] (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1,x2＋x－2，x>1))，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))＝(　　) A.eq \f(15,16)　　　　　　　 B．4 C．3 D．－3 [思路点拨]　∵f(2)＝22＋2－2＝4，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))＝f(eq \f(1,4))＝eq \f(15,16). (2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2，1<x<2,3，x≥2))的值域是(　　) A．R B．[0，＋∞) C．[0,3] D．[0,2]∪{3} [思路点拨]　求出每一段的值域，再合并． (1)[解析]　A　[由题意知f(2)＝22＋2－2＝4，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))＝f(eq \f(1,4))＝1－(eq \f(1,4))2＝eq \f(15,16).故选A.] (2)[解析]　D　[当x∈[0,1]时，f(x)＝2x2∈[0,2]，所以函数f(x)的值域为[0,2]∪{2,3}＝[0,2]∪{3}．] 1．定义域 取每一段定义域的并集． 2．值域 取每一段函数值的并集． [变式训练] 4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,2－x，x>0.))求下列问题： (1)计算f(f(－2))的值； (2)求方程f(x)＝eq \f(1,2)x的解． 解：(1)因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,2－x，x>0，)) 所以f(f(－2))＝f(4)＝2－4＝－2. (2)当x≤0时，则x2＝eq \f(1,2)x，即x＝0或x＝eq \f(1,2)， 所以x＝0；当x>0时，2－x＝eq \f(1,2)x，即x＝eq \f(4,3)，所以x＝eq \f(4,3). 综上，x＝0或eq \f(4,3). 分段函数的图像及应用 [例5] 根据如图所示的函数y＝f(x)的图像，写出函数的解析式． [思路点拨]　如图给出的图像，其实是一个分段函数的图像，求各段图像对应的函数解析式时，要注意其定义域是否包括所在区间的端点． [解]　当－1≤x＜1时，函数y＝f(x)的图像是一条线段，故可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，解得a＝eq \f(3,2)，b＝－eq \f(1,2)，故f(x)＝eq \f(3,2)x－eq \f(1,2)； 当1≤x＜2时，函数y＝f(x)的图像是一条平行于x轴的线段，即f(x)＝1； 当2≤x≤3时，同理可得f(x)＝2. 综上可知，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(1,2)　－1≤x＜1，,1　1≤x＜2，,2　2≤x≤3.)) 1．由分段函数的图像确定函数解析式的方法 (1)定类型：根据自变量在不同范围内的图像的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式． (3)列方程(组)：根据图像中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．分段函数应用问题的两个关注点 (1)应用情境 日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数． (2)注意问题 求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理． [变式训练] 5．某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ 解：(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(90，x∈[12，20]，,2x＋50，x∈20，30].)) (2)①12≤x≤20时，6x＝90，解得：x＝15， 即当12≤x<15时，f(x)<g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15<x≤20时，f(x)>g(x)． ②当20<x≤30时，f(x)>g(x)， 故当12≤x<15时，选A俱乐部合算， 当x＝15时，两家俱乐部一样合算， 当15<x≤30时，选B俱乐部合算． 1．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．6 C．1 D．0 答案：B 2．下列图像是函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，x＜0，,x－1，x≥0))的图像的是(　　) 答案：C 3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 2 3 1 g(x) 3 2 1 (1)则当g(f(x))＝2时，x＝________. (2)则f(g(2))＝________. 答案：(1)1　(2)3 4．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(1)＝________. 答案：2 5.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)． (1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图像，并根据图像求f(x)的值域． 解：(1)函数的定义域为(0,12)，当0＜x≤4时，f(x)＝eq \f(1,2)×4×x＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝eq \f(1,2)×4×4＝8；当8＜x＜12时，f(x)＝eq \f(1,2)×4×(12－x)＝24－2x. 所以函数解析式为 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，x∈0，4]，,8，x∈4，8]，,24－2x，x∈8，12.)) (2)图像如图所示．从图像可以看出f(x)的值域为(0,8]． $$