2.2.4 第1课时 均值不等式 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[思路点拨]　利用均值不等式证明不等式，注意等号成立的条件． 证明　(1)∵a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号) ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. (2)因为a，b，c全不相等， 所以eq \f(b,a)与eq \f(a,b)，eq \f(c,a)与eq \f(a,c)，eq \f(c,b)与eq \f(b,c)全不相等， 所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)>2，eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)>2，eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)>2， 三式相加得，eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)>6， 所以(eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)－1)＋(eq \f(c,b)＋eq \f(a,b)－1)＋(eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)－1)>3， 即eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(a＋c－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)>3. 利用均值不等式证明不等式的注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型再使用． [变式训练] 3．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：(eq \f(1,x)－1)(eq \f(1,y)－1)(eq \f(1,z)－1)>8. 证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1， 所以eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)＝eq \f(y＋z,x)>eq \f(2\r(yz),x)，① eq \f(1,y)－1＝eq \f(1－y,y)＝eq \f(x＋z,y)>eq \f(2\r(xz),y)，② eq \f(1,z)－1＝eq \f(1－z,z)＝eq \f(x＋y,z)>eq \f(2\r(xy),z)，③ 又x，y，z为正数，由①×②×③，得 (eq \f(1,x)－1)(eq \f(1,y)－1)(eq \f(1,z)－1)>8. 1．下列不等式成立的是(　　) A．ab≤eq \f(a2＋b2,2)　　　　 B．ab≥eq \f(a2＋b2,2) C．a＋b≥2eq \r(ab) D．a＋b≤2eq \r(ab) 答案：A 2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v<eq \r(ab) B．v＝eq \r(ab) C.eq \r(ab)<v<eq \f(a＋b,2) D．v＝eq \f(\r(a＋b),2) 答案：A 3．已知a，b是不相等的正数，x＝eq \f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq \r(a＋b)，则x，y的大小关系是________． 答案：x<y 4．若a>0，b>0.a＋b＝2.则下列不等式①ab≤1，②eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)；③a2＋b2≥2；④eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2.对满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)． 答案：①③④ 5．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1， 证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc. 证明：∵a＋b＋c＝1， ∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b) ≥2eq \r(bc)·2eq \r(ac)·2eq \r(ab)＝8abc， 当且仅当b＝c＝a＝eq \f(1,3)时，等号成立． 故(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc(当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时取等号)． $$