2.2.3 第2课时 一元二次不等式解法的应用 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识点二]　一元二次不等式恒成立的情况 1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))； 2．ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)). [预习自测] 1．不等式eq \f(x－1,x＋2)<0的解集为(　　) A．{x|x>1}　　　　　 B．{x|x<－2} C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2，或x>1} 答案：C 2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|eq \f(x－2,x)≤0}，则A∩B＝(　　) A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 答案：B 3．不等式x2＋mx＋eq \f(m,2)>0恒成立的条件是________． 答案：{m|0<m<2} 解简单的分式不等式 [例1] 解不等式 (1)eq \f(x2－x－6,x－1)>0； (2)eq \f(2x－1,3－4x)>1. [思路点拨]　(1)eq \f(x2－x－6,x－1)>0⇔(x2－x－6)(x－1)>0 (2)eq \f(2x－1,3－4x)>1⇔eq \f(3x－2,4x－3)<0⇔(3x－2)(4x－3)<0 解析：(1)原不等式等价于 ⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x－6>0,x－1>0))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x－6<0,x－1<0)). 解得x>3或－2<x<1. ∴原不等式的解集为{x|x>3，或－2<x<1}． (2)原不等式可化为eq \f(2x－1,3－4x)－1>0，即eq \f(3x－2,4x－3)<0，等价于(3x－2)(4x－3)<0， ∴eq \f(2,3)<x<eq \f(3,4). ∴原不等式的解集为{x|eq \f(2,3)<x<eq \f(3,4)}． 解分式不等式的策略 (1)对于形如eq \f(fx,gx)>0(<0)的不等式可等价转化为f(x)g(x)>0(<0)来解决；对于形如eq \f(fx,gx)≥0(≤0)的不等式可等价转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx·gx≥0≤0,gx≠0))，来解决． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． [变式训练] 1．(1)关于x的不等式eq \f(x－a,x＋1)>0的解集为{x|x<－1，或x>4}，则实数a＝________. (2)不等式eq \f(2x－1,3＋4x)>1的解集为________． 解析：(1)eq \f(x－a,x＋1)>0⇔(x＋1)(x－a)>0， 又因为原不等式的解集为{x|x<－1，或x>4}， 所以(x＋1)(x－4)>0，所以a＝4. (2)原不等式化为eq \f(2x－1,3＋4x)－1>0，即eq \f(x＋2,4x＋3)<0， 所以(x＋2)(4x＋3)<0，所以－2<x<－eq \f(3,4). 所以原不等式的解集为{x|－2<x<－eq \f(3,4)}． 答案：(1)4　(2){x|－2<x<－eq \f(3,4)} 一元二次不等式的实际应用 [例2] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价一投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [思路点拨]　年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．所以y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)解不等式． [解]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)． (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1.2－1×1 000>0，,0<x<1，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－60x2＋20x>0，,0<x<1，)) 解不等式组，得0<x<eq \f(1,3)，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为{x|0<x<eq \f(1,3)}． [变式训练] 2．假设国家计划收购m kg某种农副产品，收购价格是每千克12元，其中征税标准是每100元征税8元(称为税率是8%)，为了减轻农民负担，国家决定将税率降低x百分点，预计收购量可增加2x百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定实数x的取值范围． 解析：税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)kg，税率降低后的税收为12m(1＋2x%)(8－x)%元，原来的税收为12m×8%元． 根据题意，可得12m(1＋2x%)(8－x)%≥12m×8%×78%， 即x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2. 又x>0，∴0<x≤2， ∴实数x的取值范围是{x|0<x≤2}． 二次不等式的恒成立问题 [例3] 已知函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范围． [思路点拨]　讨论m＝0和m≠0两种情况． [解]　函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)<0对一切实数x都成立，于是 ①当m＝0时，－1<0恒成立； ②当m≠0时，要使其恒成立， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2－4mm－1<0，))解得m<0. 综上，m的取值范围为{m|m≤0}． 一元二次不等式在R上的恒成立问题 (1)①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))； ②一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0；)) ③一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0；)) ④一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.)) [提醒]　当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0.)) (2)在给定区间上的恒成立问题． ①a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.②a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. [变式训练] 3．若∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立． ①当x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R； ②当1<x≤4时，a≤eq \f(x2－2x＋5,x－1)＝x－1＋eq \f(4,x－1). ∵1<x≤4，∴0<x－1≤3， ∴x－1＋eq \f(4,x－1)≥2eq \r(x－1·\f(4,x－1))＝4(当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时取等号)，∴a≤4.综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}． 答案：{a|a≤4} 1．不等式eq \f(x2－2x－2,x2＋x＋1)<2的解集为(　　) A．{x|x≠－2}　　　　　 B．R C．∅ D．{x|x<－2或x>2} 答案：A 2．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15} C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10} 答案：B 3．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1<x<m}，则m＝________. 答案：2 4．若关于x的不等式是kx2－6kx＋k＋8≥0在R上恒成立，则实数k的取值范围是________． 答案：{k|0≤k≤1} 5.为了支援武汉抗击新冠病毒肺炎疫情，中国用了10天时间建成了拥有1 000个床位的火神山医院，再次诠释了“中国速度”，全世界瞩目，某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解析：设花坛的宽度为x m， 则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥eq \f(1,2)×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x>0，所以0<x≤100. 当x在(0,100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． $$