2.2.2 不等式的解集 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识点三]　数轴上的坐标与距离 1．两点间的距离公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝ |a－b| 这就是数轴上两点之间的距离公式． 2．中点坐标公式 若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝eq \f(a＋b,2)就是数轴上的中点坐标公式． [预习自测] 1．已知数轴上A，B两点的坐标分别为eq \f(1,3)，－eq \f(1,3)，则|AB|为(　　) A．0　　　　　 B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,9) 解析：C　[|AB|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－\f(1,3)))＝eq \f(2,3).] 2．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x－5≥0，,\r(2)x－3\r(2)≥0))的解集为________． 解析：由－2x－5≥0得x≤－eq \f(5,2)， 由eq \r(2)x－3eq \r(2)≥0得x≥3， ∴原不等式组的解集为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))∩[3，＋∞)＝∅. 答案：∅ 3．关于x的不等式ax<1的解集为________． 解析：当a<0时，x>eq \f(1,a)，解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))； 当a＝0时，x∈R； 当a>0时，x<eq \f(1,a)，解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,a))). 答案：当a<0时，解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))；当a＝0时，解集为R；当a>0时，解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,a))). 解一元一次不等式 [例1] (1)求不等式eq \f(x,2)－1≤eq \f(7－x,3)的非负整数解； (2)求关于x的不等式ax>b(a，b为常数)的解集． [思路点拨]　利用不等式的性质求解． [解]　(1)去分母，得3x－6≤14－2x.移项，得3x＋2x≤14＋6合并同类项，得5x≤20，系数化为1，得x≤4. 因为小于或等于4的非负整数是0,1,2,3,4. 所以此不等式的非负整数解为0,1,2,3,4. (2)当a<0时，有x<eq \f(b,a)， 即解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(b,a)))； 当a＝0时，若b<0，解集为R，若b≥0，解集为∅； 当a>0时，有x>eq \f(b,a)，解集为(eq \f(b,a)，＋∞)． 综上，a<0时，解集为(－∞，eq \f(b,a))； a＝0时，若b<0，则解集为R， 若b≥0，则解集为∅； a>0时，解集为(eq \f(b,a)，＋∞)． 1．不含参数的一元一次不等式都可化归为ax>b(ax≥b，ax<b，ax≤b)求解． 2．含参数的一元不等式常需分类讨论(如本例)，还要关注不等式是否指明了未知数的次数(如本例改为求关于x的一次不等式ax>b(a，b为常数)的解集时，则应不讨论a＝0的情况．) [变式训练] 1．已知不等式ax＋1>－x＋2的解集为(－∞，－2)．求a的值． 解：原不等式可化为(a＋1)x>1，由题意知a＋1<0且eq \f(1,a＋1)＝－2，∴a＝－eq \f(3,2). 不等式组的解法 [例2] 解下列不等式组： (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－5>1＋2x，①,3x＋2≤4x；②)) (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋5>1－x，①,x－1≤\f(3,4)x－\f(1,8).②)) [思路点拨]　分别解每个不等式，再求它们的交集． [解]　(1)解不等式①，得x<－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅. (2)解不等式①，得x>－eq \f(12,5)，解不等式②，得x≤eq \f(7,2)，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知不等式组的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，\f(7,2))). 不等式组的求解步骤 (1)求出不等式组中每个不等式的解集． (2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集)． (3)写出不等式组的解集． [变式训练] 2．解不等式组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≥－\f(7＋x,2)，,3x＋1≤5x－1.)) 解：不等式组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≥－\f(7＋x,2)，①,3x＋1≤5x－1，②)) ①式两端同时乘以2，得2x＋2≥－7－x， 然后两端同时加上x－2，得3x≥－9， 不等式3x≥－9再端同时乘以eq \f(1,3)，得x≥－3， 同理，解不等式②得x≥2， 所以不等式组的解集是[2，＋∞)． 数轴上的距离问题 [例3] 已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)． (1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值； (2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围． [思路点拨]　根据|a－b|的几何意义求解． [解]　(1)若P是线段QR的中点，则－8＝eq \f(m＋2,2)， ∴m＝－18； 若Q是线段PR的中点，则m＝eq \f(－8＋2,2)＝－3； 若R是线段PQ的中点，则2＝eq \f(－8＋m,2)，∴m＝12. (2)由题意，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m－8,2)－\f(－8＋2,2)))>1， 即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－1))>1， ∴eq \f(m,2)－1>1或eq \f(m,2)－1<－1，解得m>4或m<0， ∴实数m的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)． (1)当P(x)中x>0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离|OP|＝x；当P(x)中x<0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离|OP|＝－x. (2)由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越大；点对应实数越大，点越靠向右方． [变式训练] 3．在数轴上A(3)，B(x)．AB的中点M到原点的距离不大于6，求x的取值范围． 解：AB的中点M的坐标为eq \f(3＋x,2). 由题意可得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3＋x,2)))≤6，即|3＋x|≤12. ∴－12≤3＋x≤12. ∴－15≤x≤9，即x的取值范围是[－15,9]． 解含绝对值的不等式 [例4] 解下列不等式： (1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4. (3)|x＋7|－|x－2|≤3. [思路点拨]　根据绝对值的几何意义求解． [解]　(1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤－eq \f(6,5)，∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≥2或x≤－\f(6,5))). (2)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|x－2|≥2，①,|x－2|≤4.②)) 由①得x－2≤－2或x－2≥2， ∴x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， ∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}． (3)法一　|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]． 法二　令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2. ①当x<－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3， ∴－9≤3成立， ∴x<－7. ②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3， 即2x≤－2，∴x≤－1， ∴－7≤x≤－1. ③当x>2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3， 即9≤3不成立， ∴x∈∅. ∴原不等式的解集为(－∞，－1]． 绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x<－a或x>a} {x|x∈R且x≠0} R 2.|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法 (1)当c>0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. (2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|<c的解集为∅. (3)当c<0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅. 3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体观了数形结合的思想； (2)利用“零点分段法”求解，体观了分类讨论的思想． (3)分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点：①分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏；②每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”，最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后合”；③不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时用列举法；二是用区间． [变式训练] 4．(1)不等式|2x＋1|>3的解集是(　　) A．{x|x<－2或x>1}　 B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x≥1} D．{x|－2≤x<1} (2)求不等式|x－1|＋|x－2|>2的解集； (1)解析：A　[由|2x＋1|>3，得2x＋1>3或2x＋1<－3，因此x<－2或x>1，所以原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．] (2)解：(1)法一　设A(1)，B(2)，则AB的中点M(eq \f(3,2))，则|x－1|＋|x－2|>2⇔eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))>1⇔x－eq \f(3,2)<－1或x－eq \f(3,2)>1⇔x<eq \f(1,2)或x>eq \f(5,2)， ∴原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)). 法二　原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤1；,1－x＋2－x>2，)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1<x<2，,x－1＋2－x>2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥2，,x－1＋x－2>2，)) 解得x<eq \f(1,2)或∅或x>eq \f(5,2)， ∴x<eq \f(1,2)或x>eq \f(5,2). 故原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)). 1．代数式1－m的值大于－1，又不大于3，则m的取值范围是(　　) A．(－1,3]　　　　 B．[－3,1) C．[－2,2) D．(－2,2] 解析：C　[由题意知，－1<1－m≤3，∴－2≤m<2.] 2．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋1<3，,3x＋1≥4))的解集为(　　) A．(－2,1] B．(－∞，－2)∪[1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋1<3，,3x＋1≥4))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>－2，,x≥1.))∴x≥1.] 3．已知数轴上，A(x)，B(1)，且|AB|＝eq \f(7,2)，则x的值为________． 解析：由题意|x－1|＝eq \f(7,2)，∴x－1＝±eq \f(7,2)， ∴x＝eq \f(9,2)或x＝－eq \f(5,2). 答案：eq \f(9,2)或－eq \f(5,2) 4．不等式|3x－4|<2的解集是________． 解析：由|3x－4|<2，得－2<3x－4<2，∴eq \f(2,3)<x<2. 答案：(eq \f(2,3)，2) 5．解不等式|x－1|＋|x＋2|<5. 解：法一　记A(1)，B(－2)，则AB的中点为M(－eq \f(1,2))， |x－1|＋|x＋2|<5⇔eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))<eq \f(5,2)， 即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))<eq \f(5,2)， ∴－eq \f(5,2)<x＋eq \f(1,2)<eq \f(5,2)，－3<x<2，故原不等式的解集为(－3,2)． 法二　原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤－2，,－x－1－x＋2<5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2<x<1，,－x－1＋x＋2<5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－1＋x＋2<5，)) 解得－3<x≤－2或－2<x<1或1≤x<2， ∴－3<x<2. 故原不等式的解集为(－3,2)． $$