2.1.3 方程组的解集 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(2)原方程组可变形为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋5y＝36　③，,x＝5y－24　④.)) 把④代入③，得5y－24＋5y＝36，解得y＝6， 把y＝6代入④，得x＝5×6－24＝6. 所以这个方程组的解集为{(x，y)|(6,6)}． 求三元一次方程组的解集 [例2] 求下列方程组的解集 (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3y＋2z＝2　①，,3x＋2y－4z＝3　②，,2x－y＝7　③；)) (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x∶y＝3∶2　①，,y∶z＝2∶5　②，,z＋x＋y＝20　③.)) [思路点拨]　求三元一次方程组解集时，首先将系数较为简单的未知数消去，将“三元”转化为“二元”，再解二元一次方程组即可；或根据各未知数系数的特点，直接将方程相加(减)进行简便运算． [解]　(1)法一　①×2＋②，得5x＋8y＝7　 ④， ③与④组成二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,5x＋8y＝7，)) 解这个方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，)) 把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，所以z＝1. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1)，1}． 法二　由③，得y＝2x－7　④， 把④代入①，整理得7x＋2z＝23　⑤， 把④代入②，整理得7x－4z＝17　⑥， ⑤与⑥组成二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7x＋2z＝23，,7x－4z＝17，)) 解这个方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,z＝1，)) 把x＝3代入④，得y＝－1. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1,1)}． (2)法一　由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5. 设x＝3k，y＝2k，z＝5k(k≠0)，并代入③，得5k＋3k＋2k＝20， 解得k＝2. 所以x＝3k＝6，y＝2k＝4，z＝5k＝10. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6,4,10)}． 法二　由①，得x＝eq \f(3,2)y　④， 由②，得z＝eq \f(5,2)y　⑤. 把④和⑤代入③，得 eq \f(5,2)y＋eq \f(3,2)y＋y＝20，解得y＝4. 把y＝4分别代入④和⑤， 得x＝6，z＝10. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6,4,10)}． 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元 把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组 (2)求解 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值 (3)回代 将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程 (4)求解 解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值 (5)写解集 把方程组的解用集合表示出来 [变式训练] 2．求方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＋2z＝3，,2x＋y－3z＝11，,x＋y＋z＝12，))的解集． 解：已知方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＋2z＝3，　①,2x＋y－3z＝11，　②,x＋y＋z＝12，　③)) ①＋②，得5x－z＝14. ①＋③，得4x＋3z＝15. 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－z＝14，,4x＋3z＝15，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,z＝1.)) 把x＝3，z＝1代入③，得y＝8. 所以原方程组的解集为{(3,8,1)}． 求二元二次方程组的解集 [例3] 求下列方程组的解集 (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，①,x2＋y2＝13；②)) (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋xy－2y2＝0，,x2＋2xy＋y2－x－y－2＝0.)) [思路点拨] 1．对形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Dx2＋Exy＋Fy2＋Gx＋Hy＋K＝0))的方程组可用代入法． 2．对形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x2＋B1xy＋C1y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,A2x2＋B2xy＋C2y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)) 的方程组可通过“降次”转化为1中的形式求解． [解]　(1)把①代入②得x2＋(x＋1)2＝13. 整理得x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2. 把x1＝－3代入①，得y1＝－2， 把x1＝2代入①，得y2＝3， 所以原方程组的解集为{(x，y)|(－3，－2)，(2,3)}． (2)方程组可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－yx＋2y＝0，,x＋y－2x＋y＋1＝0.)) 即为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－2＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＋1＝0.)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,x＋y－2＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,x＋y＋1＝0.)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝－\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.)) 所以原方程组的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|1，1，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))，4，－2，－2，1)). 1．“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解，把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程，由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况；一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断． 2．解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是： (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解． (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解． [变式训练] 3．解下列方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－4y2＋x＋3y－1＝0，　①,2x－y－1＝0；　②)) (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝1，　①,x－y2－2x－y－3＝0.　②)) 解：(1)由②，得y＝2x－1　③， 把③代入①，整理，得15x2－23x＋8＝0. 解这个方程，得x1＝1，x2＝eq \f(8,15). 把x1＝1代入③，得y1＝1； 把x2＝eq \f(8,15)代入③，得y2＝eq \f(1,15). 所以原方程组的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y1，1，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)，\f(1,15))))). (2)由②得(x－y－3)(x－y＋1)＝0. 所以x－y－3＝0或x－y＋1＝0. 所以原方程组可化为两个方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝1，,x－y－3＝0，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝1，,x－y＋1＝0.)) 用代入消元法解方程组，分别得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,y1＝－\f(4,3)，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝－1，,y2＝0.))所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(4,3)))，－1，0)). 1．下列方程组中，只有一个解的是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,3x＋3y＝0))　　　 B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,3x＋3y＝－2)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,3x－3y＝4)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,3x＋3y＝3)) 解析：C　[A、B无解，D有无穷多解，C只有一个解．] 2．已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2))与eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－5))都是方程y＝kx＋b的解，则k与b的值分别为(　　) A．k＝eq \f(1,2)，b＝－4 B．k＝－eq \f(1,2)，b＝4 C．k＝eq \f(1,2)，b＝4 D．k＝－eq \f(1,2)，b＝－4 解析：A　[把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－5，))分别代入y＝kx＋b，得－2＝4k＋b①，－5＝－2k＋b②. 解①②组成的方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝－4.))] 3．下列四个集合中方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＋z＝0，,2x－y－z＝1，,3x－y－z＝2))的解集是(　　) A．{(x，y，z)|(0,1，－2)} B．{(x，y，z)|(1,0,1)} C．{(x，y，z)|(0，－1,0)} D．{(x，y，z)|(1，－2,3)} 解析：D　[eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＋z＝0，　①,2x－y－z＝1，　②,3x－y－z＝2，　③)) ①＋②得3x＋y＝1　④ ③－②得x＝1 将x＝1代入④得y＝－2 将x＝1，y＝－2代入②得z＝3.] 4．方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝a，,xy＝b))的一个解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))那么这个方程组的另一个解是________． 解析：由题意，得a＝5，b＝6，x，y是方程z2－5z＋6＝0的两根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.)) 答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2)) 5．求方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x2－9y2＝15，,2x－3y＝5))的解集． 解：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x2－9y2＝15①,2x－3y＝5②))，①式可化为(2x－3y)(2x＋3y)＝15.③ 把②代入③，易得2x＋3y＝3，于是原方程组可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝3，,2x－3y＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－\f(1,3).)) 所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,3))))). $$