2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[预习自测] 1．下列方程中．是关于x的一元二次方程的是(　　) A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B.eq \f(1,x2)＋eq \f(1,x)－2＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1 解析：A　[A中方程可化为3x2＋4x＋1＝0，是一元二次方程；B中方程是关于eq \f(1,x)的一元二次方程；对C，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程；D中方程可化为2x＝－1，不是一元二次方程．] 2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于(　　) A．－1　 B．0　　　C．1　　　D．2 解析：C　[由题意m2－m－1＝0，即m2－m＝1.] 3．若方程x2－mx＋m－1＝0的一个实数根为2，则方程的另一个实数根为________． 解析：设另一个根为a. 根据题意可得a＋2＝m,2a＝m－1， ∴a＋2＝2a＋1，∴a＝1， ∴另一个根为1. 答案：1 方程根个数的判断及应用 [例1] 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根． [思路点拨]　(1)分m＋1＝0和m＋1≠0两种情况求解． (2)一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝0. [解]关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程，Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0. 解得m≥－eq \f(3,2)且m≠－1. 综上可知：当m≥－eq \f(3,2)时，方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (2)∵关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0， 解得m＝－eq \f(3,2)，∴方程为－eq \f(1,2)x2－3x－eq \f(9,2)＝0， 两边同时乘以－2，得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0， 解得x1＝x2＝－3. 只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac，(1)“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”；(2)“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”；(3)“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”；(4)“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”． [变式训练] 1．已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围． (1)方程有两个不相等的实数根： (2)方程有两个相等的实数根． 解：Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)． (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1－3k)>0， 所以k<eq \f(1,3). (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0， 所以k＝eq \f(1,3). 求一元二次方程的解集 [例2] 用适当的方法求下列方程的解集． (1)x2－2x－8＝0；(2)2x2－7x＋6＝0； (3)(x－1)2－2x＋2＝0. [思路点拨]　根据方程特点选择不同的方法求解． [解]　(1)法一　移项，得x2－2x＝8， 配方，得(x－1)2＝9，由此可得x－1＝±3 ∴x1＝4，x2＝－2，∴方程的解集为{－2,4}． 法二　原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0， ∴x－4＝0或x＋2＝0，∴x1＝4，x2＝－2， ∴方程的解集为{－2,4}． (2)法一　原方程可化为(x－2)(2x－3)＝0 ∴x－2＝0或2x－3＝0，∴x1＝2，x2＝eq \f(3,2)， ∴方程的解集为{2，eq \f(3,2)}． 法二　∵a＝2，b＝－7，c＝6，∴Δ＝b2－4ac＝1>0， ∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－－7±\r(1),2×2)，即x1＝2，x2＝eq \f(3,2)， ∴方程的解集为{2，eq \f(3,2)}． (3)原方程可化为(x－1)2－2(x－1)＝0. 提取公因式，得(x－1)(x－1－2)＝0. ∴x－1＝0或x－3＝0， ∴x1＝1，x2＝3，∴方程的解集为{1,3}． (1)解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法．公式法是解一元二次方程的通用方法，可以解所有的一元二次方程． (2)用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①移项：将方程化为一般形式． ②分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积． ③转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程． ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解． [变式训练] 2．求下列方程的解集． (1)x4－3x2＋2＝0；(2)x＋2eq \r(x)－1＝0； (3)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0. 解：(1)令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0， ∴y＝1或y＝2，即x2＝1或x2＝2， ∴x＝±1或x＝±eq \r(2). ∴原方程的解集为{－eq \r(2)，－1,1，eq \r(2)}． (2)令y＝eq \r(x)≥0，得y2＋2y－1＝0， ∴y＝－1＋eq \r(2)或y＝－1－eq \r(2)(舍)． 从而eq \r(x)＝－1＋eq \r(2)，即x＝3－2eq \r(2)， ∴原方程的解集为{3－2eq \r(2)}． (3)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，∴t1＝－1或t2＝2， 即x2－x＋1＝0　①或x2－x－2＝0　② 对①，Δ＝－3<0，无实数解； 对②，易得x＝－1或x＝2，故原方程的解集为{－1,2}． 直接应用根与系数的关系进行计算 [例3] 已知一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根为x1和x2，求下列各式的值： (1)xeq \o\al(3,1)＋xeq \o\al(3,2)； (2)|x1－x2|(x1＋x2)． [思路点拨]　利用根与系数的关系x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a)，直接求解． [解]　由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝－2，x1x2＝－3. (1)x3＋xeq \o\al(3,2)＝(x1＋x2)(xeq \o\al(2,1)－x1x2＋xeq \o\al(2,2)) ＝(－2)[(x1＋x2)2－3x1x2] ＝(－2)[(－2)2－3×(－3)]＝－26. (2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝(－2)2－4×(－3)＝16. 所以|x1－x2|＝eq \r(x1－x22)＝4， 所以|x1－x2|(x1＋x2)＝4×(－2)＝－8. 1．在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值． 2．应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点： (1)当一元二次方程不是一般形式时．要先化为一般形式． (2)应用时，不要漏掉“－”号． (3)应用根与系数的关系公式前，首先确定判别式Δ的值，Δ≥0是应用公式的前提． [变式训练] 3．(1)若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个根，则xeq \o\al(2,1)x2＋x1xeq \o\al(2,2)的值是________． (2)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，则eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)＝________. (1)解析：由一元二次方程的根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－5，所以xeq \o\al(2,1)x2＋x1xeq \o\al(2,2)＝x1x2(x1＋x2)＝(－5)×(－3)＝15. 答案：15 (2)解析：由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3， 所以eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)＝eq \f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2),x1x2) ＝eq \f(x1＋x22－2x1x2,x1x2) ＝eq \f(－62－2×3,3) ＝10. 答案：10 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 [例4] 已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋eq \f(1,4)k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值． (1)方程两实根的积为5； (2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2. [思路点拨]　先满足Δ≥0，再利用根与系数的关系构造不等式． [解]　Δ＝[－(k＋1)]2－4×(eq \f(1,4)k2＋1)＝2k－3，Δ≥0，k≥eq \f(3,2). (1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝eq \f(1,4)k2＋1＝5， k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)． (2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝eq \f(3,2). 方程为x2－eq \f(5,2)x＋eq \f(25,16)＝0，x1＝x2＝eq \f(5,4)>0满足． ②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1. 方程为x2＋eq \f(5,4)＝0，而方程无解， 所以k≠－1，所以k＝eq \f(3,2). 利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0. [变式训练] 4．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值． 解：(1)由Δ＝[－2(k－1)]2－4k2＝4(1－2k)≥0，得k≤eq \f(1,2)，即k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))). (2)由根与系数的关系，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2k－1，,x1x2＝k2.)) ∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1　① ∵k∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，∴k－1≤－eq \f(1,2)，∴①可化为－2＝k＋1， ∴k＝－3. 1．若一元二次方程x2＝m有解，则m的取值为(　　) A．正数　　　　　 B．非负数 C．一切实数 D．零 解析：B　[当m≥0时，一元二次方程x2＝m有解，故选B.] 2．一元二次方程3x2－1＝2x＋5的两个实数根的和与积分别是(　　) A.eq \f(3,2)，－2 B.eq \f(2,3)，－2 C．－eq \f(2,3)，2 D．－eq \f(3,2)，2 解析：B　[设这个一元二次方程的两个实数根分别为x1，x2，方程3x2－1＝2x＋5化为一元二次方程的一般形式为3x2－2x－6＝0.∵a＝3，b＝－2，c＝－6，∴x1＋x2＝－eq \f(b,a)＝－eq \f(－2,3)＝eq \f(2,3)，x1x2＝eq \f(c,a)＝eq \f(－6,3)＝－2.故选B.] 3．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两实数根，则α2＋αβ＋β2的值为(　　) A．－1　　 B．9　　　C．23　　　D．27 解析：D　[由根与系数的关系，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＋β＝5，,αβ＝－2，)) 则α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ＝52＋2＝27.] 4．若方程x2－3x－1＝0的两根为x1，x2，则eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)的值为(　　) A．3　 B．－3　　C.eq \f(1,3)　　D．－eq \f(1,3) 解析：B　[由根与系数的关系得：x1＋x2＝－eq \f(b,a)＝3 x1·x2＝eq \f(c,a)＝－1 ∴eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝－3.] 5．求下列方程的解集： (1)x4－2x2－8＝0；(2)eq \f(6,x2)－eq \f(1,x)－1＝0. 解：(1)令y＝x2(y≥0)，则原方程可变为y2－2y－8＝0， ∴y＝4或y＝－2(舍去)，即x2＝4，∴x＝±2，∴原方程的解集为{2，－2}． (2)令y＝eq \f(1,x)≠0，则原方程可化为6y2－y－1＝0. ∴(3y＋1)(2y－1)＝0， ∴y＝－eq \f(1,3)或eq \f(1,2)，即eq \f(1,x)＝－eq \f(1,3)或eq \f(1,2). ∴x＝－3或2，∴原方程的解集为{－3,2}． $$