1.2.3 第2课时 充要条件 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识梳理] [知识点]　充要条件 1．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的 充分必要 条件，简称 充要 条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q 互为充要 条件． 2．若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． 3．若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． 4．若p q，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 5．本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的． 6．应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容． 1.若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． [预习自测] 1．以下选项中p是q的充要条件的是(　　) A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5 B．p：a>2，b<2，q：a>b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 答案：D 2．已知条件甲：0<x<5，条件乙：－3<x－2<3，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 3．“m<eq \f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)． 答案：充分不必要 充要条件的判断 [例1] 判断下列各题中p是q的什么条件． (1)在△ABC中，p：A>B，q：a>b； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (4)p：a<b，q：eq \f(a,b)<1. [思路点拨]　按充要条件的定义判断． [解析]　(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则a>b，即p⇒q，反之，若a>b，则A>B即q⇒p. 因此，p是q的充要条件． (2)由x>1可以推出x2>1即p⇒q；由x2>1，得x<－1或x>1，不一定有x>1即qp. 因此，p是q的充分不必要条件． (3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3即pq； 由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0即q⇒p. 因此p是q的必要不充分条件． (4)由于a<b，当b<0时，eq \f(a,b)>1；当b>0时，eq \f(a,b)<1，故若a<b，不一定有eq \f(a,b)<1；当a>0，b>0，eq \f(a,b)<1时，可以推出a<b； 当a<0，b<0，eq \f(a,b)<1时，可以推出a>b. 因此p是q的既不充分也不必要条件． 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法： 1．定义法(适用于较简单的命题) 若p⇒q，但q p，则p是q的充分而不必要条件； 若q⇒p，但p q，则p是q的必要而不充分条件； 若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件； 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．集合法(适用于需对命题的条件或结论化简的命题)首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}；q：B＝{x|q(x)}． 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若B⊆A，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充分而不必要条件； 若BA，则p是q的必要而不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，BA，则A是B的既不充分也不必要条件． 3．传递性法(适用于多个条件之间的关系推断) 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系． [变式训练] 1．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0. (2)p：a，b∈R，|a－b|＝|a|＋|b|，q：a，b∈R，ab<0. (3)p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两个实数根，q：x1＋x2＝－5. (4)p：A⊆B，q：A∩B＝A. 解析：(1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0， 如x＝－1时，x＋|x|＝0，所以pq， 所以p不是q的充要条件． (2)由|a－b|＝|a|＋|b|，两边平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2，即|ab|＝－ab， 得ab≤0，即“|a－b|＝|a|＋|b|”等价于“ab≤0”． 所以pq，所以p不是q的充要条件． (3)当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5， 而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．所以qp，所以p不是q的充要条件． (4)由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件，即p是q的充要条件． 充要条件的证明 [例2] 求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m<eq \f(1,3). [思路点拨]　从充分性和必要性两个方面证明． [解]　设p：0<m<eq \f(1,3)，q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根． (1)充分性(p⇒q)： 因为0<m<eq \f(1,3)，所以Δ＝4－12m>0， 所以一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个不等的实根．设方程的两根为x1，x2， 当0<m<eq \f(1,3)时， x1＋x2＝eq \f(2,m)>0且x1x2＝eq \f(3,m)>0， 故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根． (2)必要性(q⇒p)： 若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根． 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝4－12m>0，,x1x2>0，))所以0<m<eq \f(1,3). 即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0<m<eq \f(1,3). 综上可知，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<eq \f(1,3). 充要条件的证明策略 (1)准确理解题意明确证明方向． ①条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性． ②“p是q的充分(必要)条件”常写为“q的充分(必要)条件是p”。 (2)关注证明的两个环节． 一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明． [变式训练] 2．已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：充分性： 若a＋b＝1， 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0， 即充分性成立， 必要性： 若a2＋b2－a＋b＋2ab＝0， 则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0. ∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0， 即a＋b＝1，必要性成立， 综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 充要条件的应用 [例3] 已知p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [思路点拨]　由已知，[1－m,1＋m][－2,10]，注意端点值的取舍． [解]　p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即[1－m,1＋m][－2,10]， 故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，)) 解得m≤3.又1－m<1＋m，所以m>0， 所以实数m的取值范围为(0,3]． 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解． [变式训练] 3．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：设A＝{x|x<－2，或x>3}， B＝{x|x<－eq \f(m,4)}， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA， 所以－eq \f(m,4)≤－2，即m≥8. 所以m的取值范围为[8，＋∞)． 1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 2．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 3．“x≠－1”是“x2－1≠0”的________条件． 答案：必要不充分 4．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 答案：{a|a<1} 5．已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围． 解：因为－a<x－1<a是p：－1<x<3的一个必要条件，且－a<x－1<a⇔1－a<x<1＋a， 所以{x|－1<x<3)⊆{x|1－a<x<1＋a}， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－a≤－1，,1＋a≥3，,1＋a>1－a.))， 解得a≥2， 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2. [网络构建] [归纳提升] 集合的基本概念 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其它集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． [例1]　 (1)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　) A．4　　 B．5　　　C．6　　　D．7 (2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1　　 B．3　　　C．5　　　D．9 解析：(1)C　(2)C　[(1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素，故选C. (2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．] [变式训练] 1．(1)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是(　　) A．1　　 B．3　　　C．4　　　D．6 (2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________． 解析：(1)C　(2)3或1　[(1)易知A＝{1,2}，又A∪B＝(0,1,2}，所以集合B可以是：{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}． (2)当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13)，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1，若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1.] 集合的基本关系 　集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． [例2] (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1　　 B．2　　　C．3　　　D．4 (2)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________. (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________． 解析：(1)D　(2)0或－2　(3)(－∞，4] [(1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍)， 综上所述，x＝－2或x＝0. (3)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4. 综上，m的取值范围为(－∞，4]．] [变式训练] 2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3　　 B．2　　　C．2或3　　　D．0或2或3 解析：D　[当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝φ，满足B⊆A；当m≠0时，B＝{eq \f(6,m)}，因为B⊆A，所以eq \f(6,m)＝2或eq \f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2.] 集合的基本运算 　集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用维恩图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． [例3] (1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A．{1，－3}　　　　　　 B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} (2)若集合A＝{x|－2<x<1)，B＝{x|x<－1或x>3)，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1} B．{x－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} (3)已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}， C＝{x|x<a}． ①求A∪B，(∁RA)∩B； ②若A∩C≠∅，求a的取值范围． [解析]　(1)由A∩B＝{1}得1∈B， 所以m＝3，B＝{1,3}． (2)A∩B＝{x|－2<x<－1}． [答案]　(1)C　(2)A (3)[解]　①因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}， 所以A∪B＝{x|2≤x<10}． 因为A＝{x|2≤x<7}， 所以∁RA＝{x|x<2，或x≥7}， 则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}． ②因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2，所以a的取值范围是{a|a>2}． [变式训练] 3．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} (2)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4} D．{2,3,4,5} 答案：(1)D　[由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．] (2)A　[由题意知∁UA：{2,5}，所以(∁UA)∪B＝{2,4,5}，故选A.] 全称量词命题与存在量词命题 　已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制． [例4] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集． (2)∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2. (3)∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2. (4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． [解]　(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集． (2)该命题是全称量词命题，是假命题． 因为4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 所以当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2. 该命题的否定：∃x∈R,4x2≤2x－1＋3x2. (3)该命题是存在量词命题，是真命题． 因为当x＝1时，|x－2|＝1<2. 该命题的否定：∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2. (4)该命题是全称量词命题，是假命题．当a≠0时，方程ax＋b＝0才恰有一解．该命题的否定：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两解． [变式训练] 4．(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)(多选题)在下列命题中，真命题有(　　) A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0 B．∀x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x－2y＝10 D．∀x∈R，x2>|x| (1)B　[量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.] (2)BC　[A中，x2＋x＋3＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(11,4)>0，故A是假命题；B中，x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1一定是有理数，故B是真命题；C中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故C是真命题；对于D，当x＝0时，左边＝右边＝0，故D为假命题．] 充分条件与必要条件 　充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其它知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断． [例5] 若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出满足下列条件的式子，用序号填空： (1)使a，b都为0的必要条件是________； (2)使a，b都不为0的充分条件是________； (3)使a，b至少有一个为0的充要条件是________． [解析]　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数； ④ab>0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0，))即a，b同为正数或同为负数． 综上可知：(1)使a，b都为0的必要条件是①②③； (2)使a，b都不为0的充分条件是④； (3)使a，b至少有一个为0的充要条件是①. [答案]　(1)①②③　(2)④　(3)① [变式训练] 5．已知集合A＝{x∈R|2x＋m<0}，B＝{x∈R|x<－1或x>3}． (1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？ (2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？ [解]　 (1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件， 则只要{x|x<－eq \f(m,2)}⊆{x|x<－1，或x>3}，则只要－eq \f(m,2)≤－1即m≥2， 故存在实数m≥2时使x∈A是x∈B成立的充分条件． (2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件， 则只要{x|x<－eq \f(m,2)}⊇{x|x<－1，或x>3}，则这是不可能的，故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件． 集合的实际应用 　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合的实际应用问题中． [例6] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13 7同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． [解析]　设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36， 解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． [答案]　8 [变式训练] 6．2021年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为(　　) A．7　　 B．8　　　C．10　　　D．12 解析：B　[由题可得参加比赛的学生共有31人，因为card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，所以田赛和径赛都参加的学生人数为16＋23－31＝8.故选B.] $$