3.2.1 第1课时 函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生课时P359 1．设f(x)是定义在R上的函数． ①若存在x1，x2∈R，x1＜x2，使f(x1)＜f(x2)成立，则函数f(x)在R上是增函数； ②若存在x1，x2∈R，x1＜x2，使f(x1)≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能是减函数； ③若存在x2＞0，对于任意x1∈R都有f(x1)＜f(x1＋x2)成立，则函数f(x)在R上是减函数．以上真命题的个数为(　　) A．0　 B．1　　C．2　　D．3 答案：B 2．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a2) 答案：D 3．已知函数f(x)＝x2＋2kx－5在[－2,4]上具有单调性，则实数k的取值范围为(　　) A．(－∞，－4] B．[2，＋∞) C．(－∞，－4]∪[2，＋∞) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 答案：C 4.的单调递减区间为(　　) A.　　　 B. C. D．(3，＋∞) 答案：B 5．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝|x|＋1　　　 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ 解析：CD　[y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C、D.] 6．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－1) B．(－3，－1) C．(0,1) D．(1,3) 解析：BC　[因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3. 所以－3<x<3. 又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1＝ 且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1， 所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)．故选B、C.] 7．若二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间(，1)上是增函数，则实数a的取值范围是____________． 解析：因为函数f(x)在区间(，1) 上是增函数，且其图象的对称轴为直线x＝，所以≤，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]． 答案：(－∞，2] 8．若函数f(x)＝－x2＋4ax与g(x)＝在区间[1,2]上都单调递减，则实数a的取值范围是____________． 解析：由题意，函数f(x)＝－x2＋4ax的图象对应的抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2a，故f(x)在[2a，＋∞)上单调递减， 若f(x)在区间[1,2]上单调递减，则2a≤1，解得a≤. 函数g(x)＝＝＝2＋，若g(x)在区间[1,2]上单调递减，则3a＋1＞0，且2a＜1或2a＞2，即－＜a＜或a＞1. 综上，实数a的取值范围是. 答案： 9．若f(x)＝(a－2)·x2＋(a－1)x＋3在[2，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是____________，若在[2，＋∞)上是减函数，则a的范围是____________． 解析：当a－2＝0，即a＝2时，f(x)＝x＋3在[2，＋∞]上是增函数； 当a－2>0，即a>2时，二次函数的图象开口向上，对称轴方程为x＝－，要使函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，则－≤2，解得a>2，综上a≥2. 当a－2<0，即a<2时，二次函数的图象开口向下，要使f(x)在[2，＋∞)上是减函数，则－≤2，a≤，综上a≤. 答案：（－∞，] 10．证明：函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数； 证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x－－x＋＝(x1－x2)(x1＋x2＋)． ∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＋＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， ∴函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 11．已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数，求满足不等式f(1－2a)－f(3－a)＞0的实数a的取值范围． 解析：由题意，可得f(1－2a)＞f(3－a)． ∵f(x)在定义域[1,4]上单调递减， ∴，解得－1≤a≤0， ∴实数a的取值范围为[－1,0] 12．已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝－2，试证：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)设x1＜x2＜－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1＜x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为a＞0，x2－x1＞0， 所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]． 13．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f()＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f()≤2. 解：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2， 则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1， 所以f(x2)－f(x1) ＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0， 所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． (2)因为f()＝f(x)－f(y)， 所以f(y)＋f()＝f(x)． 在上式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)， 因为f(2)＝1，所以f(4)＝2. 于是不等式f(x)－f()≤2等价于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3)．又由(1)，知f(x)是R上的增函数， 所以解得－1≤x<3或3<x≤4， 所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]． 学科网（北京）股份有限公司 $$