2.2 第1课时 基本不等式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生课时P347 1．若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A.　　　　　　　 B．a2＋b2 C．2ab D．a 答案：B 2．已知a＜b＜0，则在下列不等式中成立的是(　　) A．a＜b＜＜ B．a＜＜b＜ C．a＜b＜＜ D．a＜＜ab＜b 答案：B 3.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后来西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.＞(a＞b＞0) B．a2＋b2＞2ab(a＞b＞0) C.＜(a＞b＞0) D.＜(a＞b＞0) 答案：D 4．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列等式可能成立的是(　　) A.＋＝2 B．a＋＝2 C.＋＝ D．a2＋b2＝4 答案：A 5．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C.<v< D．v＝ 解析：AD　[设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝＝<＝.又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.] 6．(多选)下列结论中正确的有(　　) A．若a≠b≠0，则＋≥2 B．若a≠b≠0，且a，b同号，则＋≥2 C．若a>b>0，则a2>b2 D．若a>b，则a2>b2 解析：BC　[A.若a，b异号，<0，<0，＋＝－[(－)＋(－)]≤－2，错误．同理可得B正确．C.因为a>b>0，则a2>b2，C正确，D.当a<0，b<0时，a2>b2不成立．] 7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，则a＋b，2，a2＋b2,2ab中最大的是____________． 解析：∵a＞0，b＞0， ∴a＋b≥2，a2＋b2≥2ab， ∴四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2. 又∵0＜a＜1,0＜b＜1， ∴a2＋b2－(a＋b) ＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)＜0， ∴a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大． 答案：a＋b 8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是____________． 解析：∵a＞0，b＞0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3， 即ab－2－3≥0， 解得≥3，即ab≥9. 答案：ab≥9 9．(一题两空)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab. (1)则ab的最小值为____________； (2)则a＋2b的最小值为____________． 解析：因为2a＋b＝ab， 所以＋＝1. (1)因为a>0，b>0. 所以1＝＋≥2， 当且仅当＝＝ ，即a＝2，b＝4时取等号， 所以ab≥8，即ab的最小值为8. (2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号， 所以a＋2b的最小值为9. 答案：(1)8　(2)9 10．已知a，b都是正数，求证：a＋b＋1≥＋＋. 证明：由a，b都是正数，则a＋1≥2，b＋1≥2，a＋b≥2，所以2(a＋b＋1)≥2(＋＋)，即a＋b＋1≥＋＋，当且仅当a＝b＝1时取等号． 11．(1)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值． (2)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值． 解：(1)∵0＜x＜， ∴1－2x＞0， y＝·2x·(1－2x)≤·2＝×＝. ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝，y最大值＝ (2)∵x＜3，∴x－3＜0， ∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号， ∴f(x)的最大值为－1. 12．已知x，y，z＞0，x＋y＋z＝3. (1)求＋＋的最小值； (2)求证：3≤x2＋y2＋z2＜9. 解：(1)＋＋ ＝(x＋y＋z)(＋＋) ＝(1＋＋＋＋1＋＋＋＋1) ＝[3＋(＋)＋(＋)＋(＋)] ≥(3＋2 ＋2 ＋2 )＝3， 当且仅当x＝y＝z＝1时取等号， ∴＋＋的最小值为3. (2)∵9＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz≤3(x2＋y2＋z2)， ∴x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号． 又x，y，z＞0， ∴xy＋xz＋yz＞0， ∴x2＋y2＋z2＝9－2(xy＋xz＋yz)＜9， ∴3≤x2＋y2＋z2＜9. 13．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝3，证明： (1)＋＋≥3； (2)＋＋≥3. 证明：(1)由题意得(a＋b＋c)＝1，所以＋＋＝(a＋b＋c) ＝≥ ＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立 (2)因为a2＋b2≥2ab，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2，即≥(a＋b)，当且仅当a＝b时等号成立． 同理可得≥(a＋c)，当且仅当a＝c时等号成立；≥(b＋c)，当且仅当b＝c时等号成立，所以＋＋≥(2a＋2b＋2c)＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$