1.5.1 全称量词与存在量词-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生课时P339 1．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是(　　) A．四个命题都是真命题 B．①②是全称量词命题 C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题 答案：C 2．下列是存在量词命题且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B. ∃x∈Z，x2>2 C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0 答案：B 3．下列命题是假命题的是(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 答案：B 4．“对x∈R，关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于(　　) A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立 B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立 C．∀x∈R，f(x)＞0成立 D．∀x∈R，f(x)≤0成立 答案：A 5．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的有(　　) A．有一个x∈R，使得x2＞3成立 B．对有些x∈R，使得x2＞3成立 C．任选一个x∈R，都有x2＞3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3成立 解析：ABD　[C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意．] 6．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 解析：ABD　[A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD.] 7．下列命题中，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________． ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题． 答案：①②③　④ 8．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是____________． 解析：∵x≥3∴2x－1≥5，∴m≤5. 答案：m≤5 9．若“∃x0∈R，ax2＋2x＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是____________． 解析：当a≤0时命题为真；当a＞0时命题为真，必使Δ＝4－4a2＞0，即－1＜a＜1，∴a＜1. 答案：a＜1 10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题： (1)凸n边形的外角和等于2π. (2)有一个有理数x0满足x＝3. (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解：(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π， (2)∃x0∈Q，x＝3， (3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1. 11．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (3)存在实数x，使得＝2. 解：(1)存在量词命题，用符号表示为“∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0”，是假命题． (2)全称量词命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题． (3)存在量词命题，用符号表示为“∃x∈R，＝2”，是假命题． 12．对任意实数x，不等式2x＞m(x2＋1)恒成立，求实数m的取值范围． 解：不等式2x＞m(x2＋1)恒成立，即：不等式mx2－2x＋m＜0恒成立． (1)当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立，不合题意． (2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m＜0恒成立，则解得m＜－1. 综上可知，所求实数m的取值范围是{ m|m＜-1 }． 13．若∀m∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R； (2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ′＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立． 又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.由(1)(2)同时成立，故实数a的取值范围是{a|-1≤a≤1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$