2.2有理数的乘法与除法 同步讲义-2025-2026学年七年级数学上册浙教版（2024）

第2章 有理数的运算 2.3有理数的乘法与除法 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解并掌握有理数乘法与除法的运算法则，能准确进行运算。​ . 运用乘法运算律简化乘法运算，体会乘除互逆关系。​ . 借助实际情境，提升运用有理数乘除法解决问题的能力。 . . . . 一：有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 二：有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 三：倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 四：有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 五：有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 考点一：两个有理数的乘法运算 1．，，那么A与B相比（    ）． A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，将式子变形为，根据有理数的乘法计算及乘法分配律即可得出答案． 【详解】解： ； 所以． 故选：A． 2．计算：=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的简便运算， 将原式中的项两两分组，利用每组的计算结果简化求和． 【详解】解： = 故选B． 3．不计算，判断下列算式的积大于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘法等知识点，熟练掌握有理数大小的比较是解题的关键．将变形成，每个选项都形如，那么仅比较与1的大小即可． 【详解】将变形成， ∵， ∴A选项的积大于， ∵，， ∴C、D选项的积小于， ∵B选项中的， ∴B选项的积等于， 故选：A． 4．若的运算结果为负数，则内的数字可以为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”． 根据有理数乘法法则，两数相乘结果为负，当且仅当两数符号不同．已知其中一个数为负数（），则另一个数需为正数． 【详解】∵的运算结果为负数， ∴内的数字为正数， 故选：A． 考点二：多个有理数的乘法运算 5．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法符号法则，三个数相乘结果为正值，当且仅当负数的个数为偶数． 【详解】解：原式为； 1. 已知为负数，为正数，故原式中已有1个负数； 2. 要使结果为正数，负数的总个数需为偶数，因此内的数必须为负数，使负数总个数变为2（偶数）； 3. 选项中只有为负数，满足条件； 4. 验证：，符合题意． 故选：D． 6．若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【答案】C 【分析】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧，关键是要理解“！”的运算规律．根据“！”的运算规律计算​即可得出本题的答案． 【详解】解：根据题目的运算规则可得：， 故选：C． 7．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 8．有理数在数轴上的位置如图所示，则下列各式：①；②；③；④．不正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，数轴，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．观察数轴可得：，分析各选项即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴①，②，③，故①②不正确，③正确； ∵， ∴， ∴，故④不正确． 故选：C． 考点三. 有理数乘法的实际应用 9．实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查小数乘法估算的实际应用及方法，利用面积乘每平方米的单价，计算时把小数看作与它相近的整数计算即可，注意估算的时候估大一些． 【详解】解：(元) ， 因此准备820元就够了， 符合实际需要的估算方法是选项D． 故选：D． 10．小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法． A．3 B．4 C．7 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了学生乘法的意义知识的掌握情况，根据题意，解答此题，每本科技类图书可分别与3本不同的故事书组合，共有3种组合方法，4本就有种方法，这是解决本题的关键． 【详解】解：（种），所以共有12种不同的捐法． 故选：D． 11．小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． 12．宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，正确理解收入等于房价乘以数量乘以入住率是解题的关键． 分别计算不同房价对应的收入，比较即可． 【详解】解：当每间客房的定价为300元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为280元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为260元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为220元时，客房的收入为（元）. 所以当每间客房的定价为260元时，客房的收入最高． 故选：C． 考点四.倒数 13．2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 【详解】解：2025的相反数是-2025 -2025的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 14．若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：∵的倒数是，且， ∴， ∴的相反数是4， 故选：A． 15．如图，在数轴上点A表示数，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的概念，数轴点之间的距离，根据各个选项给出的的取值范围，得到Q所表示的数的取值范围，即可解答，熟知数轴上的点的距离计算是解题的关键． 【详解】解：A、当时， Q所表示的数为，，故A正确，符合题意； B、当时，Q所表示的数为，此时，故B不正确，不符合题意； C、当时，Q所表示的数为，此时，故C不正确，不符合题意； D、若，Q所表示的数为，此时，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 16．的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数的概念．倒数是指乘积为1的两个数，求一个数的倒数只需将其分子和分母交换位置，并保持符号不变． 根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】解： 的倒数是， 故选：D． 考点五.有理数乘法运算律 17．小米把错看成了，那么她算出的结果与正确结果相差（   ） A．4 B．15 C．56 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，分别求出和的结果，再计算两者的差值即可得出结果． 【详解】解：正确算式展开：， 错误算式展开：， 正确结果错误结果 ． 因此，算出的结果与正确结果相差56， 故选：C． 18．计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算与技巧，观察算式中的三个分数，发现第二个分数和第三个分数相乘时，分母和分子可以约分，从而简化计算．此时需要运用乘法结合律，将后两个分数先结合相乘即可． 【详解】解：原式为， 根据乘法结合律，将后两个分数结合：， 约分后得：， 通过改变乘法的结合顺序简化了计算，因此使用乘法结合律最简便， 故选：D． 19．下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据有理数运算法则分别计算并比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ∵， ∴得数最小的是D选项， 故选：D． 20．表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法和乘法运算律，理解的定义是解题关键．根据题意可得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 故选：B． 考点六.有理数的除法运算 21．若，则□内的数字是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，有理数的除法，根据等式，通过系数化为1求解方框内的数． 【详解】解：将等式两边同时除以，得：． 故选：B． 22．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 23．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减和有理数的大小比较．由数轴确定a，b的正负，a，b和绝对值间的关系，是解决本题的关键． 根据各点在数轴上的位置，运算法则以及绝对值的性质求解即可． 【详解】由数轴知，，故①正确； 由于，所以，故②不正确； 由于，取的符号，所以，故③不正确； 由于，所以，故④不正确； 因为，所以，又因为，所以，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：B． 24．以下的运算的结果中，最大的一个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，有理数的大小比较．比较四个选项的运算结果即可，需注意负数参与不同运算后的符号和大小变化． 【详解】解：选项A：． 选项B：． 选项C：， 选项D：． ∵，， ∴， ∴最大， 故选C． 考点七.有理数乘除混合运算 25．计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 26．的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则判断即可．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 27．计算的结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算．根据有理数乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 28．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据相关法则计算并判断即可． 【详解】解：A、，故此选项正确，不符合题意； B、，故此选项不正确，符合题意； C、，故此选项正确，不符合题意； D、，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 考点八.有理数的四则混合运算 29．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键． 根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答． 【详解】解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意； B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意； C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意； D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意． 故选C． 30．对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的有理数运算． 根据新定义，先计算括号内的，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 31．计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 32．计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 考点九.有理数四则混合运算的实际应用 33．一种果汁原价20元一桶．甲、乙、丙三个商店分别采用不同的促销方案．甲店：打八折出售；乙店：每桶减价5元出售；丙店：每满一百元减三十元．如果想买8桶果汁，到（ ）商店买最合算． A．甲 B．乙 C．丙 【答案】B 【分析】分别计算甲、乙、丙三个商店购买8桶果汁的总费用，比较后选择最便宜的商店． 【详解】解：甲店打八折的费用：（元）； 乙店每桶减5元的总费用：（元）； 丙店每满100元减30元的总费用：（元）． 因为， 所以到乙店购买最合算． 故选：B． 34．有6人参加会议，两两都要握手一次，一共要握手（　　）次． A．10 B．15 C．21 D．28 【答案】B 【分析】本题考查组合问题中的握手次数计算，需计算6人中每两人握一次手的总次数．可根据计算公式或者逐人累加计算求解． 【详解】解：方法一：每两人握手一次，一共要握手次． 方法二：逐人累加．第1人需与其余5人握手5次；第2人已与第1人握手，需再与4人握手4次；依此类推，总次数为次． 综上，共握手15次． 故选：B． 35．某新能源汽车充电时长与显示电量如图所示．张亮同学用趋势图描述充电时长与显示电量之间的关系，请你根据张亮同学所做的趋势图，预测当充电时长为时，显示电量（单位：）约为（   ） A．85 B．80 C．70 D．65 【答案】C 【详解】解：根据题意得：充电时长每增加，显示电量增加约， 因为当充电时长为时，显示电量为， 所以当充电时长为时，显示电量约为． 故选：C 36．200千克的面粉第一次用去，第二次用去余下的，两次共用去（   ）千克． A．40 B．20 C．38 D．160 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算， 先计算第一次用去的量，再求出剩余量，接着计算第二次用去的量，最后将两次结果相加． 【详解】解：（千克）， （千克）， （千克） 答：两次共用去38千克． 故选：C． 一、单选题 1．如图，数轴上点表示的数分别为，，用表示数与数的积，规定此问题中最接近的数不包括参与乘积的两个数，则下列说法正确的是（    ） A．与点表示的数最接近 B．与点表示的数最接近 C．与点表示的数最接近 D．与点表示的数最接近 【答案】B 【分析】本题考查数轴，有理数的乘法，根据数轴估计各个数字的大致范围，再根据有理数的乘法计算乘积后比较大小即可． 【详解】解：A、，则，不符合题意； B 、，则，在这个范围内只有点，即与点表示的数最接近，符合题意； C、，，则，不符合题意； D、，，根据数轴可以估计，，，则，不符合题意； 故选：B． 2．对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算符号法则是解题关键． 根据负数的乘法符号规律：奇数个负数相乘结果为负数，偶数个负数相乘结果为正数，即可判断． 【详解】解：由题意个相乘，当时，有奇数个负数相乘，所以结果为负． 故选：B． 3．若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有是负数， 故选：A． 4．的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数的概念．倒数是指乘积为1的两个数，求一个数的倒数只需将其分子和分母交换位置，并保持符号不变． 根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】解： 的倒数是， 故选：D． 5．的倒数为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数的概念．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：的倒数为 故选：C． 6．下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． 分别计算各选项中两数的乘积，判断是否等于1即可． 【详解】解：A：，不互为倒数； B：，，互为倒数； C：，不互为倒数； D：，不互为倒数； 故选：B． 7．【比大小】在数轴上，M、N两点的位置如图所示，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，由数轴可知，然后一一判断即可得出答案． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项符合题意； ．∵，∴故该选项不符合题意； 故选：C． 8．某新能源汽车充电时长与显示电量如图所示．张亮同学用趋势图描述充电时长与显示电量之间的关系，请你根据张亮同学所做的趋势图，预测当充电时长为时，显示电量（单位：）约为（   ） A．85 B．80 C．70 D．65 【答案】C 【详解】解：根据题意得：充电时长每增加，显示电量增加约， 因为当充电时长为时，显示电量为， 所以当充电时长为时，显示电量约为． 故选：C 9．一份稿件，甲、乙、丙三人单独打需要的时间分别为20小时、24小时、30小时．现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用了12小时完成全部任务，甲只打了（   ）小时． A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分数的应用． 将工作总量视为单位“1”，分别计算甲、乙、丙的工作效率．乙和丙全程工作12小时，完成部分工作量，总工作量减去乙和丙完成的工作量即为甲完成的工作量，再根据甲的工作效率即可求出甲的工作时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”， 则甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为， 乙丙合作12小时的工作量为： 则甲的工作量为： 则甲的工作时间： （小时）， 故选：D． 10．若，则□内的数字是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，有理数的除法，根据等式，通过系数化为1求解方框内的数． 【详解】解：将等式两边同时除以，得：． 故选：B． 2、 填空题 11．有44名学生要租车去春游，每辆中巴车限坐21人，租金160元；每辆小巴车限坐12人，租金120元，租车最便宜需要 元． 【答案】400 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据学生人数，分租用2辆中巴车，1辆小巴车或租用1辆中巴车，2辆小巴车或租用4辆小巴车，3种方案，进行计算，判断即可． 【详解】解：∵学生人数为44人，每辆中巴车限坐21人，每辆小巴车限坐12人， ∴可以租用2辆中巴车，1辆小巴车或租用1辆中巴车，2辆小巴车或租用4辆小巴车， ∴租用2辆中巴车，1辆小巴车，需：（元）； 当租1辆中巴车，2辆小巴车时，需：（元）； 租4辆小巴车时，需：（元）； 故最低费用为：400； 故答案为：400 12．【定义新运算】如果规定，那么 ． 【答案】47 【分析】本题考查新定义运算，有理数四则混合运算，理解新运算的定义是解题的关键． 根据定义新的运算法则计算，得到，再按先做乘法，后计算减法的计算顺序即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：47． 13．的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 【答案】 【分析】此题主要考查了倒数以及有理数大小比较的方法，倒数：乘积是1的两数互为倒数；有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：的倒数是； ，，而， ． 故答案为：；． 14．一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是 ． 【答案】100 【分析】根据题意，得，分析解答即可． 本题考查了三位数的结构，数字之和与商的关系，整式的混合运算，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 时，商最大，为100， 故答案为：100． 15．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 8 0 【分析】本题考查了有理数的除法，根据有理数的除法法则求解即可． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2） 故答案为：8； （3）； 故答案为：0； （4）； 故答案为：； （5）； 故答案为：； （6）． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算 2.3有理数的乘法与除法 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解并掌握有理数乘法与除法的运算法则，能准确进行运算。​ . 运用乘法运算律简化乘法运算，体会乘除互逆关系。​ . 借助实际情境，提升运用有理数乘除法解决问题的能力。 . . . . 一：有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 二：有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 三：倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 四：有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 五：有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 考点一：两个有理数的乘法运算 1．，，那么A与B相比（    ）． A． B． C． D．无法比较 2．计算：=（    ） A． B． C． D． 3．不计算，判断下列算式的积大于的是（   ） A． B． C． D． 4．若的运算结果为负数，则内的数字可以为（    ） A．1 B．0 C． D． 考点二：多个有理数的乘法运算 5．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 6．若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 7．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 8．有理数在数轴上的位置如图所示，则下列各式：①；②；③；④．不正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点三. 有理数乘法的实际应用 9．实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 10．小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法． A．3 B．4 C．7 D．12 11．小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 12．宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 考点四.倒数 13．2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 14．若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 15．如图，在数轴上点A表示数，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 考点五.有理数乘法运算律 17．小米把错看成了，那么她算出的结果与正确结果相差（   ） A．4 B．15 C．56 D．60 18．计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 19．下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 20．表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 考点六.有理数的除法运算 21．若，则□内的数字是（    ） A．3 B． C． D． 22．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 23．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．以下的运算的结果中，最大的一个数是（　　） A． B． C． D． 考点七.有理数乘除混合运算 25．计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 26．的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 27．计算的结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 28．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 考点八.有理数的四则混合运算 29．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 30．对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 31．计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 32．计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 考点九.有理数四则混合运算的实际应用 33．一种果汁原价20元一桶．甲、乙、丙三个商店分别采用不同的促销方案．甲店：打八折出售；乙店：每桶减价5元出售；丙店：每满一百元减三十元．如果想买8桶果汁，到（ ）商店买最合算． A．甲 B．乙 C．丙 34．有6人参加会议，两两都要握手一次，一共要握手（　　）次． A．10 B．15 C．21 D．28 35．某新能源汽车充电时长与显示电量如图所示．张亮同学用趋势图描述充电时长与显示电量之间的关系，请你根据张亮同学所做的趋势图，预测当充电时长为时，显示电量（单位：）约为（   ） A．85 B．80 C．70 D．65 36．200千克的面粉第一次用去，第二次用去余下的，两次共用去（   ）千克． A．40 B．20 C．38 D．160 一、单选题 1．如图，数轴上点表示的数分别为，，用表示数与数的积，规定此问题中最接近的数不包括参与乘积的两个数，则下列说法正确的是（    ） A．与点表示的数最接近 B．与点表示的数最接近 C．与点表示的数最接近 D．与点表示的数最接近 2．对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 3．若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 4．的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 5．的倒数为（   ） A．6 B． C． D． 6．下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 7．【比大小】在数轴上，M、N两点的位置如图所示，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 8．某新能源汽车充电时长与显示电量如图所示．张亮同学用趋势图描述充电时长与显示电量之间的关系，请你根据张亮同学所做的趋势图，预测当充电时长为时，显示电量（单位：）约为（   ） A．85 B．80 C．70 D．65 9．一份稿件，甲、乙、丙三人单独打需要的时间分别为20小时、24小时、30小时．现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用了12小时完成全部任务，甲只打了（   ）小时． A．8 B．6 C．4 D．2 10．若，则□内的数字是（    ） A．3 B． C． D． 2、 填空题 11．有44名学生要租车去春游，每辆中巴车限坐21人，租金160元；每辆小巴车限坐12人，租金120元，租车最便宜需要 元． 12．【定义新运算】如果规定，那么 ． 13．的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 14．一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是 ． 15．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$