5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)(二) 课程标准 素养解读 1.会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象研究性质 2.会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定其解析式 3.掌握利用y＝Asin(ωx＋φ)的图象解决问题 1.根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质培养学生数学直观和逻辑推理素养 2.通过学习y＝Asin(ωx＋φ)的性质提升学生的数学运算素养 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P227 [情境引入] (1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？ 提示：因为y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，所以f(0)＝0，因此sin φ＝0，所以φ＝kπ，k∈Z. (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为偶函数，则φ应满足什么条件？ 提示：因为y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，所以f(0)＝A或f(0)＝－A，即Asin φ＝A或Asin φ＝－A，所以有φ＝kπ＋，k∈Z. [知识梳理] [知识点一]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质　 根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，我们可以得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质． (1)定义域：R. (2)值域：[－A，A]．当x＝－＋(k∈Z)时，y取得最大值A；当x＝－＋(k∈Z)时，y取得最小值－A. (3)单调性：由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间； 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间． (4)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为偶函数． (5)周期性：T＝. (6)对称性：直线x＝－＋(k∈Z)都是其对称轴；点(k∈Z)都是其对称中心． [知识点二]　由y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质或部分图象确定解析式　 解决此类问题的关键在于确定参数A，ω，φ，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. (3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定φ，A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点外，还可利用五点法中其他点确定初相φ，即在五点中找两个特殊点列方程组解出φ，如：解出ω，φ等． 　求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的单调区间应注意什么？ 提示：对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言，A与ω的正负影响单调性，如果ω<0，可以利用诱导公式sin(－α)＝－sin α将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间． [预习自测] 1．函数y＝sin(2x－)在区间上的简图是(　　) 答案：A 2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象(　　) A．关于点(，0)对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点(，0)对称 D．关于直线x＝对称 答案：A 3．函数y＝2sin(2x－)的对称轴方程是____________． 答案：x＝＋(k∈Z) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P228 　　　由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定其解析式 [例1] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示，求f(x)的解析式． [思路点拨]　此类问题可由最值确定A，由周期确定ω，由图象上的点确定φ. [解]　方法一：由图象可知A＝3，T＝＝5π，∴ω＝＝＝，此时f(x)＝3sin.由于图象过点，得sin＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z. ∵|φ|<，∴φ＝－. ∴f(x)＝3sin. 方法二：同方法一，求出f(x)＝3sin. ∵对应了五点法作图的第一个点， ∴×＋φ＝0， ∴φ＝－. ∴f(x)＝3sin. 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点所对应的横坐标之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. (3)求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入转化求解． ②五点法：要确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点(－，0)作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. [变式训练] 1．函数y＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图所示，试求函数y＝3sin(ωx＋φ)的表达式． 解：由题图知，函数的最小正周期T＝2＝π，所以ω＝＝2，所以y＝3sin(2x＋φ)． 又图象过点，所以当x＝时，y＝0，由“五点法”作图得2×＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，由φ∈[0,2π)，解得φ＝，故所求函数的表达式为y＝3sin. 　　　三角函数图象的对称性 [例2] (1)函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　) A．0　　　B.　　　C.　　　D．π (2)函数y＝sin的图象的对称轴是____________，对称中心是____________． [思路点拨]　把“ωx＋φ”看作一个整体代入基本函数性质． [解析]　(1)因为y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f()＝f(－)，代入整理得cos φ＝0，所以φ＝. (2)要使sin(2x＋)＝±1， 必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)， ∴x＝＋(k∈Z)， 故函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)． ∵函数y＝sin(2x＋)的图象与x轴的交点即为对称中心，令y＝0，即sin(2x＋)＝0， ∴2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)， 故函数y＝sin(2x＋)的图象的对称中心为(－，0)(k∈Z)． [答案]　(1)C　(2)x＝＋(k∈Z)　(－，0)(k∈Z) 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标 [变式训练] 2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，其图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是(，0)和(，0)，则f(x)图象的对称轴方程为____________． 解析：由题意，得A＝，T＝2(－)＝π，∴＝π， ∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又∵点(，0)在f(x)的图象上，∴f()＝0，∴sin(＋φ)＝0，∴sin(＋φ)＝0.又∵－π<φ<0，∴φ＝－，∴f(x)＝sin(2x－)．令2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．∴f(x)图象的对称轴方程是x＝＋(k∈Z)． 答案：x＝＋(k∈Z) 　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及其应用 [例3] 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝. (1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值． [思路点拨]　本题关键是对图象的一条对称轴为x＝，这一条件的利用，由图象的一条对称轴为x＝得：当x＝时，2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)进而可求φ值． [解]　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋－， 令＋－＝，解得φ＝kπ＋，k∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－. (2)由(1)知，f(x)＝sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得 kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 故函数的单调递增区间是(k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是 (k∈Z)． 当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即 x＝kπ＋(k∈Z)时，函数有最大值1； 当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即 x＝kπ＋(k∈Z)时，函数有最小值－1. 1．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数． 2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． [变式训练] 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则(　　) A．f(x)的一个对称中心为(，0) B．f(x)的图象关于直线x＝－对称 C．f(x)在上是增函数 D．f(x)的周期为 解析：A　[根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>o，|φ|<)的部分图象， 可得A＝3，＝＝－，所以ω＝2，再根据点是五点作图法中第五个点可得2×＋φ＝π，所以φ＝， 所以y＝3sin，显然，它的周期为＝π，故排除D； 当x＝时，函数y＝f(x)＝3sin(2x＋)＝0，故函数的图象关于点(，0)对称，故A正确； 当x＝－时，f(x)＝，不是最值，故f(x)的图象不关于直线x＝－对称，故排除B.在[－π，－]上，2x＋∈[，－]，y＝3sin(2x＋)不是增函数，故排除C.故选A.] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P231 1．如图是函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的部分图象，则ω，φ的值是(　　) A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 答案：A 2．(2023·全国乙卷(文)，10)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图像的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－　　　　　 B．－ C. D. 答案：D 3．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为____________． 答案：－π 4.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____________． 答案：f(x)＝2sin(2x＋) 5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，根据图象求： (1)f(x)的最小正周期； (2)f(x)的对称轴和对称中心； (3)f(x)的单调区间． 解：(1)由图象知最小正周期 T＝4×＝2π. (2)f(x)的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)， 对称中心坐标为. (3)在一个周期上的单调减区间为， ∴整个定义域上的单调减区间为 (k∈Z)， 同理易知单调增区间为(k∈Z)． 学科网（北京）股份有限公司 $$