5.6 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

5．6　函数y＝Asin(ωx＋φ) 第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)(一) 课程标准 素养解读 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响 2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤 3.掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象画法 1.通过学习y＝Asin(ωx＋φ)的图象，培养学生数学抽象和直观想象素养 2.通过对三角函数的图象变换，提升逻辑推理素养 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P222 [情境引入] 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理如图． 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动． [问题]　你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 提示：因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律． [知识梳理] [知识点]　A，ω，φ对函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象的影响　 1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响 2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 4．对“图象变换法”的理解 由y＝sin x到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换，由y＝sin x到y＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝Asin x图象的变换称为振幅变换． 5．由y＝sin x的图象，通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，其常用的变化途径： ①y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)． ②y＝sin xy＝sin ωx y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ) ③两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同： ⅰ先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位． ⅱ先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意． (3)类似地y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到． 1.怎样把函数y＝sin(x＋φ)的图象变换为y＝sin x的图象？ 提示：只需把y＝sin(x＋φ)向右(φ>0)或向左(φ<0)平移|φ|个单位长度即可得y＝sin x的图象． 2．由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？ 提示：∵y＝sin(ωx＋φ)＝sinω(x＋)， ∴由y＝sin ωx的图象向左(右)平移||个单位长度． 3．由y＝sin x的图象，得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象是否还有其他的变换方法？ 提示：y＝sin x [预习自测] 1．为了得到函数y＝sin(x－)的图象，只需把函数y＝sin x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 答案：B 2．为了得到函数y＝sin(3x－)的图象，需将函数y＝sin(x－)的图象(　　) A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 C．横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．纵坐标变为原来的，横坐标不变 答案：C 3．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的曲线对应的解析式为________________________________________________________________________． 答案：y＝sin(2x＋) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P224 　　　三角函数图象的平移变换 [例1] (1)将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin (2)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 [思路点拨]　根据“相位变换”规则实现左右平移． [解析]　(1)由y＝2sin(2x＋)可知，周期T＝π，所以＝π， y＝2 sin y＝2sin ＝2sin. (2)y＝sin 2x＝cos(－2x)＝cos(2x－) ＝cos＝cos. 若设f(x)＝sin 2x＝cos， 则f＝cos， ∴向左平移个单位长度． [答案]　(1)D　(2)A 三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行． (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离． [变式训练] 1．(1)要得到函数y＝sin(2x＋)的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (2)为了得到函数y＝sin(2x－)的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：(1)C　[因为y＝sin(2x＋)＝sin 2(x＋)，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin 2(x＋)＝sin(2x＋)的图象．] (2)C　[y＝sin(2x－)＝cos ＝cos)＝cos ＝cos.故选C.] 　　　三角函数的伸缩变换 [例2] 如何由y＝sin x的图象得到函数y＝3sin的图象？ [思路点拨]　常采用的变换方法有两种：一种是先进行相位变换，后进行周期变换；另一种是先进行周期变换，后进行相位变换． 由函数y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的变换涉及到三个变换：相位变换、周期变换、振幅变换，三者的变换先后顺序没有特殊要求．但要注意，若先相位变换，后周期变换，需平移|φ|个单位，若先周期变换，后相位变换，则需平移个单位． 由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 [变式训练] 2．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin(2x＋)，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 　　　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 [例3] 作出y＝2.5sin的图象． [思路点拨]　利用“五点法”作出一个周期内的图象，然后按周期扩展． [解]　令X＝2x＋，则x＝. 列表： X 0 π 2π x － y 0 2.5 0 －2.5 0 描点连线，如图所示． 1．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2．“五点法” 作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是： ①计算x取端点值时的ωx＋φ的范围； ②取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值； ③利用ωx＋φ的值计算y值； ④描点(x，y)，连线得到函数图象． 3．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表. ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． [变式训练] 3．作函数f(x)＝2sin在[0，π]上的图象． 解：列表： 2x－ － 0 π x 0 π f(x) －1 0 2 0 －2 －1 描点连线得： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P226 1．将函数y＝sin(x＋)(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为(　　) A．y＝sin(2x＋)(x∈R) B．y＝sin(＋)(x∈R) C．y＝sin(－)(x∈R) D．y＝sin(＋)(x∈R) 答案：B 2．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是(　　) A．y＝cos 2x　　　 B．y＝sin C．y＝－cos 2x D．y＝sin 答案：C 3．为了得到函数y＝2sin(＋)(x∈R)的图象，只需把函数y＝2sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 答案：C 4．函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向左平移个单位后与函数y＝－cos 2x的图象重合，则φ＝____________. 答案： 5．利用“五点法”作出函数y＝sin(2x－)在一个周期(闭区间)上简图。 解析：第一步：列表. x 2x－ 0 π 2π sin 0 1 0 －1 0 y 0 0 － 0 第二步：描点． 第三步：连线画出图象如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $$