4.5.2 用二分法求方程的近似解-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

4．5.2　用二分法求方程的近似解 课程标准 素养解读 1.理解函数零点存在定理，会判断零点所在区间 2.了解二分法求函数的近似零点 3.能解决二次函数零点分布问题 1.通过判定零点所在区间及二分法求零点的近似值，培养数学运算素养 2.通过零点个数的判定、二次函数零点分布问题，培养逻辑推理、直观想象素养 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P141 [情境引入] 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子．可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了，你知道他是如何做到的吗？ 如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中，点E来查． 每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了． [问题1]　上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？ 提示　二分法． [问题2]　工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆子的关键是什么？ 提示　确立故障的范围． [问题3]　如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？ 提示　6次． [知识梳理] [知识点一]　二分法的概念　 (1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间　一分为二　，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点　近似值　的方法叫做二分法． (2)本质：利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值． (3)应用：求函数的零点、方程的根的近似解. 1.为什么能用二分法求方程的近似解？ 提示：方程的根即为对应函数的零点． [知识点二]　用二分法求函数零点近似值的步骤　 (1)步骤：给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (ⅰ)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c)，则令b＝c； (ⅲ)若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b)，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤②～④. (2)本质：计算过程程序化，算法思想的具体体现． (3)应用：利用二分法的步骤，可以设计程序框图，用有关算法语言编写程序，用信息技术求方程的近似解． 2.零点的近似解只能是区间的端点a或b吗？ 提示：不是，区间[a，b]中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值． 3．是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？ 提示：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点． [预习自测] 1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 答案：A 2．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(　　) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 A.(－1,0)　　　　　　 B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 答案：C 3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝____________. 答案：0.25 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P143 　　　二分法的概念 [例1] 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) [思路点拨]　解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件． [解析]　B　[利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点，故选B.] (1)准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． (2)“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点． [变式训练] 1．(多选)下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是(　　) A．y＝＋1　　　　　 B．y＝ C．y＝x2＋4x＋8 D．y＝|x| 解析：CD　[对于选项C，y＝x2＋4x＋8＝(x＋4)2≥0，故有零点但不能用二分法求零点的近似值． 对于选项D，y＝|x|≥0，故有零点但不能用二分法求零点的近似值． 易知选项A，B有零点，且可用二分法求零点的近似值．故选CD.] 　　　用二分法求方程的近似解，函数的零点 [例2] 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)． [思路点拨]　要求方程2x3＋3x－3＝0的正实根，可转化为用二分法求函数f(x)＝2x3＋3x－3的正的零点，故首先要选定初始区间[a，b]，满足f(a)·f(b)<0，然后逐步逼近． [解析]　令f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0， 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表： (a，b) 中点c f(a) f(b) f (0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0 (0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解． 1．用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． 2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点；中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口． 3．用二分法求方程的近似解时应注意事项 (1)先将方程形式转化为函数形式． (2)准确计算区间中点的函数值，进而判断零点所在的区间． (3)求近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同． [变式训练] 2．已知函数f(x)＝x3－x2＋1. (1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内． 证明：(1)因为f(0)＝1＞0，f(2)＝－＜0，所以f(0)·f(2)＜0，由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解． (2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝＞0，由此可得f(1)·f(2)＜0，下一个有解区间为(1,2)． 再取x2＝×(1＋2)＝， 得f＝－＜0，所以f(1)·f＜0，下一个有解区间为. 再取x3＝×＝，得f＝＞0，所以f·f＜0，下一个有解区间为. 综上所述，所求的实数解x0在区间内． 　　　函数图象的交点问题 [例3] 借助计算器，用二分法求函数f(x)＝2x＋1和g(x)＝7x－1的图象交点的横坐标(精确度0.1)． [思路点拨]　首先在同一个坐标系中画出两个函数的图象，直观地观察图象只有一个交点，估算该交点的位置，再用二分法求相应函数零点的近似值． [解]　在同一坐标系中作出f(x)＝2x＋1与g(x)＝7x－1的大致图象，可知两函数图象只有一个交点， 令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－7x＋2. ∵h(0)＝2>0，h(1)＝－3<0， ∴函数h(x)的零点x0∈(0,1)． 取(0,1)的中点x1＝0.5，用计算器算得h(0.5)>0. ∵h(0.5)·h(1)<0，∴x0∈(0.5,1)． 再取(0.5,1)的中点x2＝0.75， 用计算器算得h(0.75)<0. ∵h(0.5)·h(0.75)<0，∴x0∈(0.5,0.75)． 同理可得，x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)． ∵|0.625－0.687 5|＝0.062 5<0.1， ∴两个函数图象交点的横坐标近似值可取为0.7. 求函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，等价于函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点，也等价于求方程f(x)－g(x)＝0的根． [变式训练] 3．方程x3－2x2＋3x－6＝0在区间[－2,4]上的根必定在____________内(　　) A．[－2,1]　　　　　 B. C. D. 解析：D　[设f(x)＝x3－2x2＋3x－6，∵f(－2)＝－8－8－6－6＜0，f(4)＝64－32＋12－6＞0，又∵＝1，且f(1)＝1－2＋3－6＜0，∴方程的根应在[1,4]内；又＝，f＝－＋－6＞0， ∴方程的根应在内；又∵＝， f＝3－2×2＋3×－6＜0， ∴方程的根应在内．]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P145 1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4,4　　　　　　　 B．3,4 C．5,4 D．4,3 答案：D 2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是(　　) A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到 B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点 C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点 D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解 答案：D 3．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间[0,2]上的零点，需求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　) A．6　　 B．5　　　C．8　　　D．7 答案：C 4．函数f(x)的图象在区间[－1,2]上连续，且f(－1)>0，f(0)<0，f(2)>0.则函数在区间[－1,2]上至少有__________个零点． 答案：2 5．用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)． 解：经计算，f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0，因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)． 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： (a，b) (a，b)的中点 中点函数值 (1,1.5) 1.25 f(1.25)＜0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.375)＞0 (1.25,1.375) 1.3125 f(1.3125)＜0 (1.312 5,1.375) 1.343 75 f(1.343 75)＞0 (1.312 5,1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)＞0 (1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)＜0 因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度0.01的近似零点可取为1.328 125. 学科网（北京）股份有限公司 $$