3.4 函数的应用(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

3．4　函数的应用(一) 课程标准 素养解读 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要模型 2.会利用已知的函数模型(或建立函数模型)解决实际问题 通过本节的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P86 [情境引入] 随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表： 年份 2017 2018 2019 销量/万辆 8 18 30 结合以上三年的销量及人们生活的需要，2020年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2020年实际销售44万辆，圆满完成销售目标． [问题1]　在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？ 提示　建立函数模型． [问题2]　如果我们分别将2017,2018,2019,2020年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？ 提示　通过计算二次函数能更好地反映该公司的年销量． [问题3]　依照目前的形势分析，你能预测一下2021年，该公司预销售多少辆汽车吗？ 提示　2021年，该公司预销售60万辆汽车． [知识梳理] [知识点一]　　 1．常见函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型 y＝＋b k≠0 二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a(x＋)2＋ a≠0 幂函数模型 y＝axn＋b a≠0，n≠1 2.本质：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，选择适当的函数模型，数学模型解决问题． 3．应用：应用于各类与数学相关的应用题． 　解决函数应用问题的基本步骤是什么？ 提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图： [知识点二]　　 分段函数模型：一种比较复杂的函数模型，可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题．或者将定义域上变化复杂的函数分成几段区间来研究，在每一段区间上函数有各自的变化规律，根据函数的具体变化，再分段选择相应的函数模型． [预习自测] 1．某地供电公司为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量x(kW·h)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示，当夜间月用电量为300 kW·h时，应交电费为(　　) A．130元　　　　　 B．140元 C．150元 D．160元 答案：D 2．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为(　　) A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x C．y＝x(x≥0) D．y＝x 答案：A 3．企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋4x＋10(万元)，一万件的售价是30万元．若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为____________万元． 答案：159 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P87 　　　一次函数模型的应用 [例1] 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？ [思路点拨]　依题意找到所获利润关于报纸份数的关系式． [解]　设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；每月退回报社报纸共10×(x－250)份． 依题意得y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)． 即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)， 化简得y＝1.6x＋800，(其中250≤x≤400)． ∵此一次函数y＝kx＋b，(k≠0)的k＝1.6>0， ∴y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)． ∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1 440元． 1．一次函数模型解决实际问题的原则 一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也比较简单． 2．一次函数模型解决问题的注意点 用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a>0时为增函数，当a<0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b)或(－，0)这些特殊点的意义． [变式训练] 1．某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县、B县的运费分别为40元、80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县、B县的运费分别为30元、50元．则总费用最少为(　　) A．300元　　　　　　 B．400元 C．700元 D．860元 解析：D　[设从甲仓库调往A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为12－x，从乙仓库调往A县的车辆数为10－x，从乙仓库调往B县的车辆数为6－(10－x)＝x－4. 设总费用为y，则y＝40x＋80×(12－x)＋30×(10－x)＋50×(x－4)＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)，要使总费用y最少，则需x最大，所以当x＝10时，总费用y最少，为860元．] 　　　二次函数模型的应用 [例2] 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ [思路点拨]　(1)y＝90-3(x-50)(50≤x≤55，x∈N) (2)w＝－(x－40)(－3x＋240) [解]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)． (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 二次函数模型解题思路 二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答． [变式训练] 2．随着人们对交通安全的认识，骑电动车必需戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的必备品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 解析：设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元． 每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元， 进货总额8(100－10x)元，显然100－10x>0，即x<10， 则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x) ＝(2＋x)(100－10x) ＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)． 当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元． 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 　　　分段函数模型 [例3] 为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后满足y＝，如图所示，现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg，请按题中所供给的信息，解答下列各题． (1)求y关于x的函数解析式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ [思路点拨]　依题意，把实际问题转化为数学问题． [解]　(1)当0≤x≤8时，设y＝λx，代入(8,6)， 得到λ＝，所以y＝x(0≤x≤8)， 当x≥8时，把(8,6)代入得到k＝48， 所以y＝(x>8)，所以y＝ (2)当0≤x≤8时，令x＝3，得x＝4， 当x>8时，令＝3，得x＝16， 所以空气中每立方米的含药量不低于3 mg时的持续时间为16－4＝12(min)>10，所以此次消毒有效． (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型． (2)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． [变式训练] 3．共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元，根据初步测算，自行车厂生产新样式单车的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝ x是新样式单车的产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂生产新样式单车的利润y(单位：元)表示为产量x的函数； (2)当产量为多少时，自行车厂生产新样式单车的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)依题意，生产x辆新样式单车的总成本为(20 000＋10x)元， 则y＝ (2)当0<x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000， 则当x＝300时，ymax＝25 000； 当x>400时，y＝60 000－100x单调递减， 则y<60 000－100×400＝20 000， 所以当产量为300辆时，自行车厂生产新样式单车的利润最大，最大利润为25 000元． 　　　幂函数模型的应用 [例4] 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金) [思路点拨]　设投入资金为x千万元，则A芯片的毛收入为y＝(x>0)，将(1,1)，(4,2)代入y＝kxa，得生产B芯片的毛收入为y＝(x>0)． [解]　(1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的毛收入y＝(x>0)． 将(1,1)，(4,2)代入y＝kxa， 得∴ ∴生产B芯片的毛收入y＝(x>0)． (2)由>，得x>16； 由＝，得x＝16； 由<，得0<x<16. ∴当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大． (3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元资金生产A芯片，公司所获净利润f(x)＝＋－2＝－(－2)2＋9，故当＝2，即x＝4千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元． 幂函数模型的应用求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式． [变式训练] 4．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量． 解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)． (2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400， ∴k＝，∴流量R的函数解析式为R＝·r4. (3)∵R＝·r4， ∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P90 1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A．820元　　　　　　 B．840元 C．860元 D．880元 答案：C 2．某工厂计划在一边长为60 m的正三角形空地上建造一座长方体的厂房，则厂房占地面积的最大值为(　　) A．400m2 B．450m2 C．400 m2 D．450 m2 答案：B 3．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计____________元． 答案：360 4．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)的关系为y＝xa(a为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为____________万元． 答案：125 5．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知： f(t)＝ (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 解：(1)当0<t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20<t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min. (2)因为f(5)＝195，f(25)＝205， 所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中． (3)当0<t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4， 当20<t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57， 又28.57－4＝24.57>24， 所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目． 学科网（北京）股份有限公司 $$