第一章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

[网络构建]　 对应学生课时P31 [归纳提升] 　　集合的基本概念 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其它集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． [例1]　 (1)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　) A．4　　B．5　　　C．6　　　D．7 (2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1　　B．3　　　C．5　　　D．9 [解析]　(1)C　(2)C　[(1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素，故选C. (2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．] [变式训练] 1．(1)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是(　　) A．1　　B．3　　　C．4　　　D．6 (2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为____________． 解析：(1)C　(2)3或1　[(1)易知A＝{1,2}，又A∪B＝(0,1,2}，所以集合B可以是：{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}． (2)当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13)，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1，若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1.] 　　集合的基本关系 集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． [例2] (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 (2)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝____________. (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________． [解析]　(1)D　(2)0或－2　(3)m≤4 [(1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍)， 综上所述，x＝－2或x＝0. (3)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则解得2<m≤4. 综上，m的取值范围为m≤4．] [变式训练] 2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3　 B．2　　C．2或3　　D．0或2或3 解析：D　[当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝Φ，满足B⊆A；当m≠0时，B＝{}，因为B⊆A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2.] 　　集合的基本运算 　集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用维恩图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． [例3] (1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A．{1，－3}　　　　　　 B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} (2)若集合A＝{x|－2<x<1)，B＝{x|x<－1或x>3)，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1} B．{x－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} [解析]　(1)由A∩B＝{1}得1∈B， 所以m＝3，B＝{1,3}． (2)A∩B＝{x|－2<x<－1}． [答案]　(1)C　(2)A (3)已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}． ①求A∪B，(∁RA)∩B； ②若A∩C≠∅，求a的取值范围． [解]　①因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}， 所以A∪B＝{x|2≤x<10}． 因为A＝{x|2≤x<7}， 所以∁RA＝{x|x<2，或x≥7}， 则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}． ②因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2， 所以a的取值范围是{a|a>2}． [变式训练] 3．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 解析：D　[由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．] (2)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4} D．{2,3,4,5} 解析：A　[由题意知∁UA＝{2,5}，所以(∁UA)∪B＝{2,4,5}，故选A.] 　　全称量词命题与存在量词命题 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制． [例4] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集． (2)∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2. (3)∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2. (4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． [解]　(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集． (2)该命题是全称量词命题，是假命题． 因为4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 所以当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2. 该命题的否定：∃x∈R,4x2≤2x－1＋3x2. (3)该命题是存在量词命题，是真命题． 因为当x＝1时，|x－2|＝1<2. 该命题的否定：∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2. (4)该命题是全称量词命题，是假命题．当a≠0时，方程ax＋b＝0才恰有一解．该命题的否定：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两解． [变式训练] 4．(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 解析：B　[量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.] (2)(多选题)在下列命题中，真命题有(　　) A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0 B．∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x－2y＝10 D．∀x∈R，x2>|x| 解析：BC　[A中，x2＋x＋3＝(x＋)2＋>0，故A是假命题；B中，x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故B是真命题；C中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故C是真命题；对于D，当x＝0时，左边＝右边＝0，故D为假命题．] 　　　充分条件与必要条件 充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其它知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断． [例5] 若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出满足下列条件的式子，用序号填空： (1)使a，b都为0的必要条件是____________； (2)使a，b都不为0的充分条件是____________； (3)使a，b至少有一个为0的充要条件是__________． [解析]　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数； ④ab>0⇔或即a，b同为正数或同为负数． 综上可知：(1)使a，b都为0的必要条件是①②③； (2)使a，b都不为0的充分条件是④； (3)使a，b至少有一个为0的充要条件是①. [答案]　(1)①②③　(2)④　(3)① [变式训练] 5．已知集合A＝{x∈R|2x＋m<0}，B＝{x∈R|x<－1或x>3}． (1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？ (2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？ [解]　 (1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件， 则只要{x|x<－}⊆{x|x<－1，或x>3}，则只要－≤－1即m≥2， 故存在实数m≥2时使x∈A是x∈B成立的充分条件． (2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件， 则只要{x|x<－}⊇{x|x<－1，或x>3}，则这是不可能的，故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件． 　　　　集合的实际应用 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合的实际应用问题中． [例6] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13 7同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有____________人． [解析]　设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36， 解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． [答案]　8 [变式训练] 6．2024年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为(　　) A．7　　B．8　　　C．10　　　D．12 解析：B　[由题可得参加比赛的学生共有31人，因为card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，所以田赛和径赛都参加的学生人数为16＋23－31＝8.故选B.] 学科网（北京）股份有限公司 $$