1.4.1 充分条件与必要条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 课程标准 素养解读 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 通过对充分条件、必要条件的学习和理解，体会充分条件、必要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P16 [情境引入] 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯。这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． [问题]　(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ 提示　(1)一定亮． (2)不一定，还可能是C开关闭合． [知识梳理] [知识点一]　充分条件与必要条件　 1．定义 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p　⇒　q p　 　 q 条件关系 p是q的　充分　条件 q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件 q不是p的　必要　条件 2．本质：当命题q⇒p是真命题时，条件p与结论q之间的逻辑称谓． 3．应用：充分条件、必要条件是两个常用的逻辑用语，数学学科中大量的命题用它们来叙述． 1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 提示：相同，都是p⇒q. 2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：这五种表述形式是等价的． [知识点二]　判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系　 (1)数学中的每一条 判定 定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． (2)数学中的每一条 性质 定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． [预习自测] 1．设命题甲：{x|0<x<3}，命题乙：{x||x－1|<2}，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 2．下列四个条件中能成为x＞y的充分条件的有(　　) A．xt2＞yt2　　　　　 B．xt＞yt C．x2＞y2 D．0＜＜ 答案：B 3．用符号“⇒”“⇒/ ”填空． (1)x2＝y2____________x＝y； (2)内错角相等____________两直线平行． 答案：(1)⇒/ 　(2)⇒ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P17 　充分条件的判断 [例1] 判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：<1； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (5)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. [思路点拨]　分清命题的条件和结论，判断是由条件推出结论，还是由结论推出条件． [解]　(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1，因为p q，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，则BA.因此pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.因此，p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． [变式训练] 1．(1)使x(y－2)＝0成立的一个充分条件是(　　) A．x2＋(y－2)2＝0 B．(x－2)2＋y2＝0 C．(x＋1)2＋y2＝0 D．x(y－2)(x＋2)＝0 (2)设集合M＝{x|0<x≤2}，N＝{x|0<x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的____________条件．(填“充分”或“必要”) (1)A (2)解析：由题意得，M∪N＝N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． 答案：充分 　必要条件的判断 [例2] 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等． (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形． (3)若＝，则x＝y， (4)若关于x的方程ax＋b＝0((a，b∈R)有唯一解，则a>0. [思路点拨]　找到条件和结论的关系，是判断必要条件的关键． [解]　(1)等腰梯形的两条对角线相等．因此，p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此p⇒/ q，所以q不是p的必要条件． (3)若＝，则x＝y是真命题． 因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)命题“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a>0”为假命题，因此p⇒/ q，所以q不是p的必要条件． 必要条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． [变式训练] 2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等． (2)若∠α＝60°32′，则∠α的余角是29°28′. (3)若有三条线段长分别为3 cm、4 cm和9 cm，则这三条线段能组成三角形． (4)若a和b都是偶数，则a×b是偶数． 解析：(1)该命题是真命题，p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)因为∠α＝60°32′，所以∠α的余角为90°－60°32′＝29°28′. p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为3＋4<9，所以长分别为3 cm、4 cm和9 cm的三条线段不能组成三角形，所以p⇒/ q，所以q不是p的必要条件． (4)两个偶数的乘仍是偶数． 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 　　　充分条件与必要条件的应用 [例3] 已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [思路点拨]　依充分条件的定义构造不等式组求解． [解]　p：3a<x<a， 即集合A＝{x|3a<x<a，a<0}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a<0. 所以a的取值范围是. 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p，q两命题． (2)根据p与q的关系(充分、必要条件)转化为集合间的关系．依据如下： p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A (3)根据集合间的关系，利用集合端点的大小建立不等式组． (4)求解参数范围． 特别提醒：验证集合为时是否符合题意． [变式训练] 3．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 解：(1)若2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． 则只要{x|x<－}⊆{x|x<－1，或x>3}，即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． (2)若2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3}⊆{x|x<－}，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P19 1．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 2．(多选题)下列四个条件中能成为x＞y的充分条件的是(　　) A．xt2＞yt2　　　　　　 B．xt＞yt C．x2＞y2 D．0＜＜ 答案：AD 3．用充分条件、必要条件填空： (1)“a＋b<0”是“a<0且b<0”的____________； (2)“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的____________． 答案：(1)必要条件　(2)充分条件 4．“a＝2”是“方程x2－4x＋a＝0有实根”的____________条件．(用“充分”“必要”填空) 答案：充分 5．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分条件，但不是必要条件，求实数m的取值范围． 解：因为p是q的充分条件，但不是必要条件，所以p⇒q但q⇒/ p，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集， 所以，或解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}. 学科网（北京）股份有限公司 $$