1.2 集合间的基本关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

1．2　集合间的基本关系 课程标准 素养解读 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养 对应学生用书P5 [情境引入] 这天，正巧 公孙龙 骑着白马来到 函谷关 ． 关吏说：“你人可入关，但马不能．” 公孙龙辩道：“ 白马非马 ， 怎么不可以 过关？”关吏说：“白马是马．” 公孙龙说：“我公孙龙是龙吗？”关吏一愣，但仍坚持说：“按照规定只要是赵国的马就不能入关，管你是白马还是黑马．” 公孙龙微微一笑，道：“‘马’是指名称而言，‘白’是指颜色而说，名称和颜色不是一个概念。‘白马’这个概念，分开来就是‘白’和‘马’或‘马’和‘白’，这是两个不同的概念。比如说你要马，给黄马、黑马可以，但是如果要白马，给黑马、给黄马就不可以，由此证明‘白马’和‘马’不是一回事！所以说白马非马．” 这一则寓言故事．对于一般人，说“白马是马”就如同说“白人是人”一样，清楚明白，准确无误．怎么可能“白马非马”呢？如果赵国的白马组成集合A，赵国的所有马组成集合B. [问题]　(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？ (2)集合A与集合B又存在什么关系？ (3)故事中的“白马非马”是为何意？ 提示　(1)集合A中的元素都是集合B的元素． (2)A是B的子集． (3)故事中的“白马非马”意为白马组成的集合与所有马组成的集合不相等． [知识梳理] [知识点一]　子集、集合相等、真子集　 1．Venn图 用平面上 封闭曲线 的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中　任意一个　元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作　A⊆B　(或　B⊇A　)，读作“A　包含于　B”(或“B　包含　A”) 一般地，如果集合A的任何一个元素　都是　集合B的元素，同时集合B的任何一个元素　都是　集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作　A＝B　也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则　A＝B　 如果集合A⊆B，但存在元素　x∈B　，且　x∉A　，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集．即　A⊆A　 (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么　A⊆C　 若A＝B且B＝C，则　A＝C　 (1)若AB且BC，则A　　C (2)若A⊆B且A≠B，则A　　B 1.任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系． 2．符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N. ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}． ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． [知识点二]　空集　 定义 我们把　不含任何元素　的集合，叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的　子集　，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)若A≠∅，则∅　　A 3.∅与0，{0}，{∅}有何区别？ 提示： ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅} [预习自测] 1．下列关系式正确的是(　　) A．0⊆{0} B．0∈{0}　 C．0＝{0}　 D．0∉{0} 答案：B 2．集合{1,2}的子集有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：A 3．集合{1}与集合{x|x2－1＝0}的关系是__________． 答案：{1}{x|x2－1＝0}． 对应学生用书P7 　求集合的子集、真子集 [例1] 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集． [思路点拨]　按照顺序依次写出：由0个元素构成的子集；由1个元素构成的子集；由2个元素构成的子集；由3个元素构成的子集． [解]　由0个元素构成的子集：∅； 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}； 由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； 由3个元素构成的子集：{1,2,3}． 由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集． 1．写出一个集合的所有子集的常用方法为： (1)首先要注意两个特殊子集：∅和它自身． (2)其次要依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集、含有3个元素的子集……写出所有子集，在本例中，写出含有2个元素的子集时，首先从1起，1与每个元素搭配，然后不看1，再看2可与哪些元素搭配． 2．求一个集合子集个数的规律及注意点 (1)规律：含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． (2)注意点：解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合，即∅和集合本身． [变式训练] 1．(1)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有几个？ (2)已知集合A{x∈N|－1＜x＜3}，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合． 解：(1)由{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}可以确定集合M中必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个． (2)这样的集合共有3个． ∵{x∈N|－1＜x＜3}＝{0,1,2}，A{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数，∴当A中含有1个元素时，A可以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以为{0,1}，{1,2}． 　集合间关系的判断 [例2] 指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}． (2)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}． (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}． (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [思路点拨]　判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合． [解]　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. (3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． [变式训练] 2．(1)设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，则(　　) A．A⊆B　　　　　　 B．B⊆A C．A＝B D．A⃘B (2)下列命题中正确的有____________(写出全部正确命题的序号)． ①{2,4,6}⊆{2,3,4,5,6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x|x2＝0}⊆{0}；④{(0,1)}⊆{0,1}；⑤{1}∈{0,1,2}；⑥{x|x>1}⊆{x|x≥2}． 解析：(1)选B.如图所示 A的范围包含B的范围，所以B⊆A. (2)根据子集的定义，①显然正确；②中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；③中集合{x|x2＝0}中的元素只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中{(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数集，元素不同；⑤中两个集合之间使用了“∈”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，⑤错；⑥显然错误．应有{x|x>1}{x|x≥2)．故填①③. 答案：(1)B　(2)①③ 由集合间的关系求参数问题 [例3] (1)若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|ax＋2＝0，a∈R}，且NM，则a的取值集合为____________． (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围． [思路点拨]　(1)求出集合M中的元素，对N作讨论． (2)借助数轴，不要漏掉B＝∅的情况． 解析：(1)化简M＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，因为ax＋2＝0的系数a是字母，所以对a分类讨论如下： 当a＝0时，ax＋2＝0无解，所以N＝∅满足题意；当a≠0时，ax＋2＝0的解为x＝－，因为NM，所以由－＝－3，得a＝，由－＝2.得a＝－1，所以符合条件的a的取值集合为{0，，－1}． (2)因为B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. ②当B≠∅时有 解得－1≤m<2，综上得m≥－1. 答案：(1){0，，－1}　(2)m≥－1 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解．此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 提醒： (1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论． [变式训练] 3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值． 解：A＝{x|x2＋x－6＝0)＝{－3,2}． 因为BA， 所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅. 当B＝{－3}时， 由m·(－3)＋1＝0，得m＝. 当B＝{2}时， 由m·2＋1＝0，得m＝－. 当B＝∅时，m＝0， 综上所述，m＝或m＝－或m＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P9 1．集合M＝{x|－2＜x≤3且x∈N}的真子集个数为(　　) A．7　　 B．8　　　C．15　　　D．16 答案：C 2．给出以下5组集合： (1)M＝{(－5,3)}，N＝{－5,3}； (2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}； (3)M＝∅，N＝{0}； (4)M＝{π}，N＝{3.141 5}； (5)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中是相等集合的有(　　) A．1组　　　　　　 B．2组 C．3组 D．4组 答案：A 3．对于两个非空集合A，B，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{0,2,3,6,7}，则集合N－M的真子集个数为____________． 答案：7 4．设A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x－3＝0}，且B⊆A，则m＝____________. 答案：6 5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． 解：(1)若AB，由图可知a>2. (2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2. 学科网（北京）股份有限公司 $$