5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)(二) 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 第五章　三角函数 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课程标准 素养解读 1.会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象研究性质 2.会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定其解析式 3.掌握利用y＝Asin(ωx＋φ)的图象解决问题 1.根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质培养学生数学直观和逻辑推理素养 2.通过学习y＝Asin(ωx＋φ)的性质提升学生的数学运算素养 [情境引入] (1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？ 提示：因为y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，所以f(0)＝0，因此sin φ＝0，所以φ＝kπ，k∈Z. (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为偶函数，则φ应满足什么条件？ 提示：因为y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，所以f(0)＝A或f(0)＝－A，即Asin φ＝A或Asin φ＝－A，所以有φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z. [知识梳理] [知识点一]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质　 根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，我们可以得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质． (1)定义域：R. (2)值域：[－A，A]．当x＝eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω)＋eq \f(2kπ,ω)(k∈Z)时，y取得最大值A；当x＝eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)＋eq \f(2kπ,ω)(k∈Z)时，y取得最小值－A. (3)单调性：由2kπ－eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得单调递增区间； 由2kπ＋eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，解得单调递减区间． (4)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数为偶函数． (5)周期性：T＝eq \f(2π,ω). (6)对称性：直线x＝eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω)＋eq \f(kπ,ω)(k∈Z)都是其对称轴；点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)＋\f(kπ,ω)，0))(k∈Z)都是其对称中心． [知识点二]　由y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质或部分图象确定解析式　 解决此类问题的关键在于确定参数A，ω，φ，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为T＝eq \f(2π,|ω|)，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为eq \f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. (3)从寻找“五点法”中的第一零点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定φ，A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))外，还可利用五点法中其他点确定初相φ，即在五点中找两个特殊点列方程组解出φ，如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ωx1＋φ＝\f(π,2)，,ωx2＋φ＝π))解出ω，φ等． 　求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的单调区间应注意什么？ 提示：对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言，A与ω的正负影响单调性，如果ω<0，可以利用诱导公式sin(－α)＝－sin α将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间． [预习自测] 1．函数y＝sin(2x－eq \f(π,3))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的简图是(　　) 答案：A 2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,3))(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象(　　) A．关于点(eq \f(π,3)，0)对称 B．关于直线x＝eq \f(π,4)对称 C．关于点(eq \f(π,4)，0)对称 D．关于直线x＝eq \f(π,3)对称 答案：A 3．函数y＝2sin(2x－eq \f(π,6))的对称轴方程是____________． 答案：x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)(k∈Z) 由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定其解析式 [例1] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一段图象如图所示，求f(x)的解析式． [思路点拨]　此类问题可由最值确定A，由周期确定ω，由图象上的点确定φ. [解]　方法一：由图象可知A＝3，T＝eq \f(4,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π,4)))＝5π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,5π)＝eq \f(2,5)，此时f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋φ)).由于图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)＋φ))＝0，∴eq \f(π,10)＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－eq \f(π,10)，k∈Z. ∵|φ|<eq \f(π,2)，∴φ＝－eq \f(π,10). ∴f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x－\f(π,10))). 方法二：同方法一，求出f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋φ)). ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))对应了五点法作图的第一个点， ∴eq \f(2,5)×eq \f(π,4)＋φ＝0， ∴φ＝－eq \f(π,10). ∴f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x－\f(π,10))). 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为T＝eq \f(2π,|ω|)，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点所对应的横坐标之间的距离为eq \f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. (3)求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入转化求解． ②五点法：要确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点(－eq \f(φ,ω)，0)作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)； “第五点”为ωx＋φ＝2π. [变式训练] 1．函数y＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图所示，试求函数y＝3sin(ωx＋φ)的表达式． 解：由题图知，函数的最小正周期T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,3)))＝π，所以ω＝eq \f(2π,T)＝2，所以y＝3sin(2x＋φ)． 又图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，所以当x＝eq \f(π,3)时，y＝0，由“五点法”作图得2×eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，由φ∈[0,2π)，解得φ＝eq \f(π,3)，故所求函数的表达式为y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). 三角函数图象的对称性 [例2] (1)函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　) A．0　　　B.eq \f(π,4)　　　C.eq \f(π,2)　　　D．π (2)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称轴是____________，对称中心是____________． [思路点拨]　把“ωx＋φ”看作一个整体代入基本函数性质． [解析]　(1)因为y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(eq \f(π,4))＝f(－eq \f(π,4))，代入整理得cos φ＝0，所以φ＝eq \f(π,2). (2)要使sin(2x＋eq \f(π,3))＝±1， 必有2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)， ∴x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)， 故函数y＝sin(2x＋eq \f(π,3))的图象的对称轴为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)． ∵函数y＝sin(2x＋eq \f(π,3))的图象与x轴的交点即为对称中心，令y＝0，即sin(2x＋eq \f(π,3))＝0， ∴2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，即x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)(k∈Z)， 故函数y＝sin(2x＋eq \f(π,3))的图象的对称中心为(eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)，0)(k∈Z)． [答案]　(1)C　(2)x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)　(eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)，0)(k∈Z) 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)求对称中心横坐标 [变式训练] 2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，其图象最低点的纵坐标是－eq \r(3)，相邻的两个对称中心是(eq \f(π,3)，0)和(eq \f(5π,6)，0)，则f(x)图象的对称轴方程为____________． 解析：由题意，得A＝eq \r(3)，T＝2(eq \f(5π,6)－eq \f(π,3))＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π， ∴ω＝2，∴f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)．又∵点(eq \f(π,3)，0)在f(x)的图象上，∴f(eq \f(π,3))＝0，∴eq \r(3)sin(eq \f(2π,3)＋φ)＝0，∴sin(eq \f(2π,3)＋φ)＝0.又∵－π<φ<0，∴φ＝－eq \f(2π,3)，∴f(x)＝eq \r(3)sin(2x－eq \f(2π,3))．令2x－eq \f(2π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得x＝eq \f(7π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)．∴f(x)图象的对称轴方程是x＝eq \f(7π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)． 答案：x＝eq \f(7π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及其应用 [例3] 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,8). (1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值． [思路点拨]　本题关键是对图象的一条对称轴为x＝eq \f(π,8)，这一条件的利用，由图象的一条对称轴为x＝eq \f(π,8)得：当x＝eq \f(π,8)时，2x＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)进而可求φ值． [解]　(1)由2x＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)－eq \f(φ,2)， 令eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)－eq \f(φ,2)＝eq \f(π,8)，解得φ＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－eq \f(3π,4). (2)由(1)知，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4))). 由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(3π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得 kπ＋eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(5π,8)(k∈Z)． 故函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(5π,8)，kπ＋\f(9π,8)))(k∈Z)． 当2x－eq \f(3π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即 x＝kπ＋eq \f(5π,8)(k∈Z)时，函数有最大值1； 当2x－eq \f(3π,4)＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，即 x＝kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)时，函数有最小值－1. 1．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)时为奇函数． 2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． [变式训练] 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则(　　) A．f(x)的一个对称中心为(eq \f(4π,3)，0) B．f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,12)对称 C．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))上是增函数 D．f(x)的周期为eq \f(π,2) 解析：A　[根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>o，|φ|<eq \f(π,2))的部分图象， 可得A＝3，eq \f(T,2)＝eq \f(π,ω)＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,3)，所以ω＝2，再根据点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，0))是五点作图法中第五个点可得2×eq \f(π,3)＋φ＝π，所以φ＝eq \f(π,3)， 所以y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，显然，它的周期为eq \f(2π,2)＝π，故排除D； 当x＝eq \f(4π,3)时，函数y＝f(x)＝3sin(2x＋eq \f(π,3))＝0，故函数的图象关于点(eq \f(4π,3)，0)对称，故A正确； 当x＝－eq \f(π,2)时，f(x)＝eq \f(3,2)，不是最值，故f(x)的图象不关于直线x＝－eq \f(π,12)对称，故排除B.在[－π，－eq \f(π,2)]上，2x＋eq \f(π,3)∈[eq \f(5π,3)，－eq \f(2π,3)]，y＝3sin(2x＋eq \f(π,3))不是增函数，故排除C.故选A.] 1．如图是函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象，则ω，φ的值是(　　) A．ω＝2，φ＝eq \f(π,3) B．ω＝2，φ＝eq \f(π,6) C．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,3) D．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6) 答案：A 2．(2023·全国乙卷(文)，10)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))单调递增，直线x＝eq \f(π,6)和x＝eq \f(2π,3)为函数y＝f(x)的图像的两条相邻对称轴，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)))＝(　　) A．－eq \f(\r(3),2)　　　　　 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2) 答案：D 3．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,6)，则φ的值为____________． 答案：－eq \f(5,6)π 4.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____________． 答案：f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,3)) 5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，根据图象求： (1)f(x)的最小正周期； (2)f(x)的对称轴和对称中心； (3)f(x)的单调区间． 解：(1)由图象知最小正周期 T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)－\f(4π,3)))＝2π. (2)f(x)的对称轴为x＝eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)， 对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋kπ，0)). (3)在一个周期上的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4,3)π))， ∴整个定义域上的单调减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(4,3)π))(k∈Z)， 同理易知单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2,3)π，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)． $$