3.1.1 函数的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 第三章　函数的概念与性质 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课程标准 素养解读 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 3.了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和值域 1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养 2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养 [情境引入] 比萨斜塔是意大利的标志性建筑，更是世界建筑史上的一大奇迹．比萨斜塔位于比萨城北面的一个名字叫奇迹广场上．奇迹广场的大片草坪上有一组宗教建筑，它们是比萨大教堂、洗礼堂、比萨斜塔和墓园．它们的外墙面均为乳白色大理石砌成，各自相对独立但又形成统一的罗马式建筑风格.1987年12月，奇迹广场(包括大教堂、洗礼堂、比萨斜塔和墓园)被联合国教科文组织列入《世界文化遗产》．比萨斜塔位于大教堂后面右侧，它从地面到塔顶高55米，直径16米，总重约14453吨．塔身向东南方向倾斜，倾斜角度3.99度． 某物体从比萨斜塔的塔顶自由下落，物体下落的高度h(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为h＝eq \f(1,2)gt2，其中g取9.8 m/s2. [问题]　物体下落的高度h(m)是所用时间t(s)的函数吗？ 提示：物体下落的高度h(m)是所用时间t(s)的函数． [知识梳理] [知识点一]　函数的概念　 1．函数的定义：设A、B是　非空的数集　，如果按照某种　确定的　对应关系f，使对于集合A中的　任意　一个数x，在集合B中都有　唯一　确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作　y＝f(x)，x∈A　. 2．函数的定义域：函数y＝f(x)中，x是自变量，　x的取值范围A　叫做函数的定义域． 3．函数的值域：函数y＝f(x)中，与x的值相对应的y值叫做函数值，　函数值的集合{f(x)|x∈A}　叫做函数的值域．显然，值域是集合B的　子集　. 1.对于函数f：A→B，值域一定是集合B吗？为什么？ 提示：不一定．值域是集合B的子集，即{f(x)|x∈A}⊆B. 2．对应关系f必须是一个解析式的形式吗？为什么？ 提示：不一定．可以是数表，也可以是图象． 3．有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 提示：这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 4．f(x)与f(a)有何区别与联系？ 提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数． [知识点二]　区间的概念　 1．区间的概念：设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 2.无穷区间表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 5.区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 6．“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？ 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 1．函数三要素：　定义域　、　对应关系　和　值域　. 2．函数相等：由于函数的值域是由　定义域　和　对应关系　确定的，如果两个函数的　定义域　相同，并且　对应关系　完全一致，就称这两个函数相等． 7.函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？ 提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可． 8．定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数． [预习自测] 1．已知集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数图象的个数为(　　) A．1　　 B．2　　　C．3　　　D．4 答案：A 2．函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋(2x－1)0的定义域为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 答案：D 3．给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是__________(填序号)． ①f(x)＝x，g(x)＝eq \f(x2,x)； ②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1； ③f(x)＝x，g(x)＝eq \r(3,x3). 答案：③ 函数概念的理解 [例1] 下列对应关系是否为A到B的函数？ (1)A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x)； (3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝eq \r(x)； (4)A＝[－2,2]，B＝{1}，f：x→y＝1. [思路点拨]　依据函数的概念判断． [解]　(1)A中的任一元素按照对应关系y＝|x|，在B中都有唯一确定的元素与之对应，故是集合A到集合B的函数． (2)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． (3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素，且eq \r(x)不一定是整数，故此对应关系不是集合A到集合B的函数． (4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝1，在集合B中都有唯一一个确定的数1与它对应，故是集合A到集合B的函数． 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 如图所示： [变式训练] 1．下列对应关系是集合A到B的函数的是(　　) A．A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝eq \r(x) B．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \r(x) C．A＝{2}，B＝{－eq \r(2)，eq \r(2)}，f：x→y2＝x D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0 解析：D　[对于A选项，A中的元素0在B中没有对应元素，不是函数；B选项中A集合中负数没有平方根，不是函数；C选项中集合A中的元素2在集合B中有两个元素±eq \r(2)与之对应，不是函数．D选项符合函数的概念．] 判定函数相等 [例2] 下列各组函数： ①f(x)＝eq \f(x2－x,x)，g(x)＝x－1； ②f(x)＝eq \f(\r(x),x)，g(x)＝eq \f(x,\r(x))； ③f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(1－x)，g(x)＝ eq \r(1－x2)； ④f(x)＝ eq \r(x＋32)，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示相等函数的是________________(填上所有正确的序号)． [思路点拨]　判断是否为相等函数，关键是看对应关系和定义域是否一致． [解析] 序号 是否相等 原因 ① 不等 定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R. ② 不等 对应法则不同，f(x)＝eq \f(1,\r(x))，g(x)＝eq \r(x). ③ 相等 定义域、对应关系都相同． ④ 不等 值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R. ⑤ 相等 定义域、对应关系都相同. [答案]　③⑤ (1)如何判断两个函数是否相等？ ①判断定义域是否相等； ②判断对应关系是否相等； ③结论：如果①和②都肯定，则两个函数相等；如果①和②中有一个否定，则两个函数不等． (2)判断两个函数是否相等的注意事项： ①如果两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数不一定相等，如f(x)＝x2＋1与g(x)＝|x＋1|，两个函数的定义域、值域分别相同，但它们的对应法则不同，因此它们不是相等函数． ②因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，如f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4表示相等的函数． [变式训练] 2．判断下列各组函数是否是相等函数． (1)f(x)＝x2－x＋1，g(t)＝t2－t＋1； (2)f(x)＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1)，g(x)＝ eq \r(x2－1). 解：(1)虽然表示自变量的字母不同，但定义域、对应关系均相同，因而是相等函数． (2)∵f(x)的定义域为{x|x≥1}，而g(x)的定义域为{x|x≤－1，或x≥1}，两函数的定义域不同，∴f(x)与g(x)不是相等函数． 求函数的定义域 [例3] 求下列函数的定义域． (1)f(x)＝eq \r(x－1)·eq \r(4－x)＋2； (2)f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2). [思路点拨]　求函数的定义域，就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围． [解]　(1)要使此函数有意义，应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,4－x≥0，))即1≤x≤4，所以此函数的定义域是{x|1≤x≤4}． (2)要使此函数有意义，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3≥0，,x＋2≠0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥－3，,x≠－2))⇒x≥－3，且x≠－2. 所以f(x)的定义域为{x|x≥－3，且x≠－2}． 定义域的求法 (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合． (5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． [变式训练] 3．函数y＝eq \f(\r(3x－x2),2x2－3x－2)的定义域为(　　) A．(－∞，3]　　　　 B．[0,3] C．(0,2)∪(2,3) D．[0,2)∪(2,3] 解析：D　[由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－x2≥0，,2x2－3x－2≠0，))故x∈[0,2)∪(2,3]，故选D.] 函数值和函数的值域 [例4] 已知函数f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2). (1)求f(2)； (2)求函数f(x)的值域． [思路点拨]　形如f(x)＝eq \f(ax＋b,cx＋d)的函数在求值域时，一般利用分离常数的方法，即在分式的分子上构造出分母的形式以便分离出常数来求值域． [解]　(1)f(2)＝eq \f(2＋1,2＋2)＝eq \f(3,4). (2)f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2)＝eq \f(x＋2－1,x＋2)＝1－eq \f(1,x＋2)， 又eq \f(1,x＋2)≠0，∴1－eq \f(1,x＋2)≠1， ∴f(x)≠1， 即函数值域是{y|y∈R，且y≠1}． 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域； ②再根据函数的具体形式及运算确定其值域． (2)常用方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法．此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． [变式训练] 4．求下列函数的值域： (1)y＝2x＋1； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)； 解：(1)因为x∈R，所以2x＋1∈R，即函数的值域为R. (2)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2， 因为x∈[1,5)，由图所示． 所以所求函数的值域为[2,11)． 1．区间(－3,2]用集合可表示为(　　) A．{－2，－1,0,1,2}　 B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} 答案：C 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－2和y＝eq \f(x2－4,x＋2) B．y＝x－1和y＝eq \r(x2－2x＋1) C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝eq \f(\r(x)2,x)和g(x)＝eq \f(x,\r(x)2) 答案：D 3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C三点的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(4))＝____________；不等式f(x)＜2的解集为____________． 答案：0　(1,4) 4．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为__________________． 答案：{－1,1,3,5,7} 5．已知f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)． (1)求f(2)，g(3)的值； (2)求f(g(3))的值及f(g(x))． 解：(1)因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)， 所以f(2)＝eq \f(1－2,1＋2)＝－eq \f(1,3). 因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8. (2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝eq \f(1－8,1＋8)＝－eq \f(7,9)， f(g(x))＝eq \f(1－gx,1＋gx)＝eq \f(1－x2－1,1＋x2－1)＝eq \f(2－x2,x2)(x≠0)． $$