第二章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

章末归纳提升 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 网络构建 归纳提升 01 02 第二章　一元二次函数、方程和不等式 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 网络构建 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 归纳提升 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 不等式的性质及应用 不等关系与不等式的解法是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用． [例1] (1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　) A．ab>ac　　　　　　 B．c(b－a)>0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0 (2)不等式x2＋6x＋10<0的解集是(　　) A．∅ B．R C．{x|x>5} D．{x|x<2} (3)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab，eq \f(b2,a)的取值范围． [解析]　(1)C　(2)A　[(1)因为c<a且ac<0，所以c<0，a>0. A成立，因为c<b，所以ac<ab，即ab>ac. B成立，因为b<a，b－a<0， 所以c(b－a)>0. C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立． D成立，因为c<a，所以a－c>0， 所以ac(a－c)<0. (3)因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1，所以1<b2<4. 因为2<a<3，所以eq \f(1,3)<eq \f(1,a)<eq \f(1,2)， 所以eq \f(1,3)<eq \f(b2,a)<2. 所以ab的取值范围为－6<ab<－2，eq \f(b2,a)的取值范围为eq \f(1,3)<eq \f(b2,a)<2. [变式训练] 1．(1)(多选)下列命题正确的有(　　) A．若a>1，则eq \f(1,a)<1 B．若a＋c>b，则eq \f(1,a)<eq \f(1,b) C．对任意实数a，都有a2≥a D．若ac2>bc2，则a>b (2)已知a>0，b>0，且a≠b，比较eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)与a＋b的大小． (1)解析：AD　[因为a>1，所以eq \f(1,a)<1，所以A正确；若a＋c>b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，则有eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故B错误；对于C，可取a＝eq \f(1,2)，则a2<a，故C错误；因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，故D正确．] (2)(eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a))－(a＋b)＝eq \f(a2,b)－b＋eq \f(b2,a)－a＝eq \f(a2－b2,b)＋eq \f(b2－a2,a) ＝(a2－b2)(eq \f(1,b)－eq \f(1,a)) ＝(a2－b2)eq \f(a－b,ab)＝eq \f(a－b2a＋b,ab)， 因为a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0， 所以(eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a))－(a＋b)>0， 即eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)>a＋b. 解一元二次不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用． [例2] 解下列关于x的不等式： (1)－1<x2＋2x－1≤2； (2)m2x2＋2mx－3<0. [解]　(1)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1>－1，,x2＋2x－1≤2，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x>0，　　　　　①,x2＋2x－3≤0，　　　　　②)) 由①得x(x＋2)>0， 所以x<－2或x>0； 由②得(x＋3)(x－1)≤0， 所以－3≤x≤1. 将①②的解集在数轴上表示出来，如图． 求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2，或0<x≤1}． (2)当m＝0时，－3<0恒成立，解集为R. 当m≠0时，二次项系数m2>0，Δ＝16m2>0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0. 当m>0时，解集为{x|－eq \f(3,m)<x<eq \f(1,m)}； 当m<0时，解集为{x|eq \f(1,m)<x<－eq \f(3,m)}． [变式训练] 2．解下列不等式(组)： (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xx＋2>0，,x2<1；)) (2)6－2x≤x2－3x<18. 解：(1)原不等式组可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<－2或x>0，,－1<x<1，))，即0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}． (2)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6－2x≤x2－3x，,x2－3x<18，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x－6≥0，,x2－3x－18<0，)) 因式分解，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3x＋2≥0，,x－6x＋3<0，)) 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤－2，或x≥3，,－3<x<6，)) 所以－3<x≤－2或3≤x<6. 所以不等式的解集为{x|－3<x≤－2，或3≤x<6}． 利用基本不等式求最值 基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． [例3] (1)设a>0，b>0,2a＋b＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为____________． (2)已知a，b都是正数，且a2＋eq \f(b2,2)＝1，则y＝aeq \r(1＋b2)的最大值为____________． [解析]　(1)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝(eq \f(1,a)＋eq \f(2,b))(2a＋b) ＝4＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥4＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1，,\f(b,a)＝\f(4a,b)，))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)))时等号成立．∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为8. (2)∵a2＋eq \f(b2,2)＝1，∴2a2＋b2＝2. 又∵a是正数，b也是正数， ∴y＝aeq \r(1＋b2)＝eq \r(a2·1＋b2) ＝eq \f(1,\r(2))·eq \r(2a21＋b2)≤eq \f(1,\r(2))·eq \f(2a2＋1＋b2,2) ＝eq \f(3,4) eq \r(2)， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a2＝1＋b2，,a2＋\f(b2,2)＝1，,a>0，b>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(3),2)，,b＝\f(\r(2),2)))时， y＝aeq \r(1＋b2)有最大值eq \f(3,4) eq \r(2). [答案](1)8　(2)eq \f(3,4) eq \r(2) [变式训练] 3．若x>0，y>0，且x＋2y＝5，求eq \f(9,x)＋eq \f(2,y)的最小值，并求出取得最小值时x，y的值． 解：因为x>0，y>0，且x＋2y＝5， 所以eq \f(9,x)＋eq \f(2,y)＝eq \f(1,5)(x＋2y)(eq \f(9,x)＋eq \f(2,y)) ＝eq \f(1,5)(13＋eq \f(18y,x)＋eq \f(2x,y)) ≥eq \f(1,5)(13＋2eq \r(\f(18y,x)·\f(2x,y)))＝5， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝5，,\f(18y,x)＝\f(2x,y)，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))时等号成立． 所以eq \f(9,x)＋eq \f(2,y)的最小值为5，此时x＝3，y＝1. 恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元． (2)分离参数法 若m<y恒成立，则m<y的最小值． 若m>y恒成立，则m>y的最大值． (3)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． [例4] 设函数y＝mx2－mx－1，(1≤x≤3)，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解]　y<－m＋5恒成立． 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝(x－eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)>0， 又m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<eq \f(6,x2－x＋1). ∵y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,x－\f(1,2)2＋\f(3,4))在1≤x≤3上的最小值为eq \f(6,7)，∴只需m<eq \f(6,7)即可． ∴m的取值范围为{m|m<eq \f(6,7)}． [变式训练] 4．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围． 解：不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋(x2－4x＋3)>0， 设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p为自变量的一次函数，则0≤p≤4时y>0恒成立， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1·0＋x2－4x＋3>0，,4x－1＋x2－4x＋3>0，)) 解得x>3或x<－1. ∴x的取值范围是{x|x>3，或x<－1}． 构建不等式模型解决实际问题 数学建模是应用数学实际问题的基本手段，在本章中体现在：(1)基本不等式的实际应用；(2)一元二次不等式的实际应用． [例5] 某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． [解]　y＝112(2x＋eq \f(160,x)×2)＋96(x＋eq \f(160,x)×3)＋100×160＝320×(x＋eq \f(256,x))＋16 000≥26 240. 此时，x＝eq \f(256,x)，即x＝16时，取得最小值． 最小值为26 240元． [变式训练] 5．某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加eq \f(8,5)x成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元，求x的取值范围． 解：(1)依题意y＝100(1－eq \f(x,10))·100(1＋eq \f(8,50)x)； 又售价不能低于成本价， 所以100(1－eq \f(x,10))－80≥0，解得x≤2， 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2)． (2)20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得：8x2－30x＋13≤0，解得eq \f(1,2)≤x≤eq \f(13,4). 又x∈{x|0≤x≤2}，所以x的取值范围为{ x |eq \f(1,2)≤x≤2}. $$