2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

　2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 第二章　一元二次函数、方程和不等式 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课程标准 素养解读 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2.掌握图象法解一元二次不等式 3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论 通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，两根为x1，x2， 令ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－ax1＋x2，,c＝ax1x2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1x2＝\f(c,a).)) [知识梳理] [知识点一]　一元二次不等式　 1．一般地，我们把只含有　一个　未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式，称为一元二次不等式. 2．一元二次不等式的一般形式是　ax2＋bx＋c>0　或　ax2＋bx＋c<0　(其中a，b，c均为常数，a≠0)． 1.不等式x2＋eq \f(2,x)>0是一元二次不等式吗？ 提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了． [知识点二]　二次函数的零点　 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，我们把使 ax2＋bx＋c＝0 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点是点吗？ 提示：不是，二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点是方程ax2＋bx＋c＝0的根． [知识点三]　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系　 1．对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} 　{x|x≠－eq \f(b,2a)} 　R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.本质：一元二次方程、一元二次不等式是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式． 3．应用：①解一元二次不等式；②已知一元二次不等式的解集求参数． 4.当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？ 提示：R，{x|x＝－eq \f(b,2a)}． [预习自测] 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1} B．{x|x>eq \f(3,2)} C．{x|－1<x<eq \f(3,2)} D．{x|x<－1，或x>eq \f(3,2)} 答案：D 2．下面四个不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋x＋1≥0　 B．x2－2eq \r(5)x＋5＞0 C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0 答案：C 3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是____________． 答案：{x|x>3，或x<－1} 一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. [思路点拨]　先求对应方程的解，再依据二次函数的图象写出不等式的解集． [解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝eq \f(1,2)， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为{x|－3<x<eq \f(1,2)}． (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝eq \f(3－\r(3),3)，x2＝eq \f(3＋\r(3),3)， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为{x|x≤eq \f(3－\r(3),3)或x≥eq \f(3＋\r(3),3)}， (3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－eq \f(1,2).作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为 {x|x≠－eq \f(1,2)，x∈R}． (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 一元二次不等式的两种解法 (1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象； ③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”． [变式训练] 1．解下列不等式： (1)x2－x－6>0； (2)25x2－10x＋1>0； (3)－2x2＋x＋1<0. 解：(1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图象知x2－x－6>0的解集为{x|x>3，或x<－2}． (2)方程25x2－10x＋1＝0的两相等实根，x1＝x2＝eq \f(1,5). 结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图象知25x2－10x＋1>0的解集为{x|x≠eq \f(1,5)}． (3)方法一：方程－2x2＋x＋1＝0的解为x1＝－eq \f(1,2)，x2＝1，函数y＝－2x2＋x＋1的图象是开口向下的抛物线，与x轴的交点为(－eq \f(1,2)，0)和(1,0)，如图， 观察图象知不等式的解集为{x|x<－eq \f(1,2)，或x>1}． 方法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－eq \f(1,2)，x2＝1；画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示． 观察图象，可得原不等式的解集为{x|x<－eq \f(1,2)，或x>1}． 含参数的一元二次不等式的解法 [例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路点拨]　分a＝0和a≠0两种情况讨论． [解]　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1. ②当a<0时，原不等式化为(x－eq \f(1,a))(x－1)>0，解得x<eq \f(1,a)或x>1. ③当a>0时，原不等式化为(x－eq \f(1,a))(x－1)<0. 若a＝1，即eq \f(1,a)＝1时，不等式无解； 若a>1，即eq \f(1,a)<1时，解得eq \f(1,a)<x<1； 若0<a<1，即eq \f(1,a)>1时，解得1<x<eq \f(1,a). 综上可知，当a<0时，不等式的解集为{x|x<eq \f(1,a)，或x>1}； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为{x|1<x<eq \f(1,a)}； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为{x|eq \f(1,a)<x<1}． 含参数的一元二次不等式的解法 [变式训练] 2．解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0. 解：方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a<－1时，原不等式解集为{x|a<x<－1}； 当a＝－1时，原不等式解集为∅； 当a>－1时，原不等式解集为{x|－1<x<a}． 三个“二次”关系的应用 [例3] (1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－eq \f(1,2)<x<eq \f(1,3)}，则a＋b＝____________. (2)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2－bx＋a>0的解集为____________． [思路点拨]　设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a). [解析]　(1)由已知得， ax2＋bx＋2＝0的解为－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，且a<0. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝－\f(1,2)×\f(1,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，)) ∴a＋b＝－14. (2)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a<0.)) 代入不等式cx2－bx＋a>0， 得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)． 即6x2＋5x＋1<0，解得－eq \f(1,2)<x<－eq \f(1,3)， 所以所求不等式的解集为{x|－eq \f(1,2)<x<－eq \f(1,3)}． [答案]　(1)－14　(2){x|－eq \f(1,2)<x<－eq \f(1,3)} 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤： 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c. 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． [变式训练] 3．若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求关于x的不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集． 解：∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， ∴a<0且－3和4是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3＋4＝－\f(b,a),－3×4＝\f(c,a)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－a,c＝－12a)). ∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0 可化为－ax2＋2ax＋15a<0， 即x2－2x－15<0， ∴－3<x<5， ∴所求不等式的解集为{x|－3<x<5}． 1．集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x2－5x－6≤0}，则(∁RA)∪B＝(　　) A．{x|x＜－2或x＞2}　　　　 B．{x|2＜x≤6} C．{x|x＜－2或x≥－1} D．{x|2≤x≤3} 答案：C 2．(多选题)关于x的不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是(　　) A．{x|x<－1，或x>eq \f(1,4)} B．R C．{x|－eq \f(1,3)<x<eq \f(3,2)} D．∅ 答案：BCD 3．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是____________． 答案：{a|1≤a≤2} 4．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是____________． 答案：m≤1或m≥9 5．解关于x的不等式ax2＋(2a－1)x－2＜0. 解：原不等式即为(ax－1)(x＋2)＜0. ①当a＝0时，－x－2＜0，解得x＞－2，故不等式的解集为{x|x＞－2}； ②当a＞0时，eq \f(1,a)＞－2，解原不等式可得－2＜x＜eq \f(1,a)，此时原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2＜x＜\f(1,a)))))； ③当－eq \f(1,2)＜a＜0时，eq \f(1,a)＜－2，解原不等式可得x＜eq \f(1,a)或x＞－2，此时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞－2))))； ④当a＝－eq \f(1,2)时，原不等式即为－eq \f(1,2)(x＋2)2＜0，解得x≠－2，此时，原不等式的解集为{x|x≠－2}； ⑤当a＜－eq \f(1,2)时，eq \f(1,a)＞－2，解原不等式可得x＜－2或x＞eq \f(1,a)，此时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜－2或x＞\f(1,a))))). 综上所述，当a＜－eq \f(1,2)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜－2或x＞\f(1,a)))))； 当a＝－eq \f(1,2)时，原不等式的解集为{x|x≠－2}； 当－eq \f(1,2)＜a＜0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞－2))))； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞－2}； 当a＞0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2＜x＜\f(1,a))))). $$