2.2 第2课时 基本不等式的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

第2课时　基本不等式的应用 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 第二章　一元二次函数、方程和不等式 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课程标准 素养解读 掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 通过学习基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养 [情境引入] (1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？ [问题]　实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 提示　这两个都是求最值问题．第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤(eq \f(x＋y,2))2＝252＝625，当且仅当x＝y＝25时取等号，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大．第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小值，x＋y≥2eq \r(xy)＝2eq \r(10 000)＝200，当且仅当x＝y＝100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省． [知识梳理] [知识点]　　 1．用基本不等式求最值． ①设x，y为正实数，若x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝eq \f(s,2)时，积xy有最大值为eq \f(s2,4). ②设x，y为正实数，若xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝eq \r(p)时，和x＋y有最小值为　2eq \r(p). 2．基本不等式求最值的条件 ①x，y必须是正数． ②求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值． ③等号成立的条件是否满足． [预习自测] 1．若eq \f(x2－x＋1,x－1)(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　) A．1＋eq \r(2)　 B．2　　　C．3　　　D．4 答案：B 2．已知正数x，y满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值是(　　) A．18　　 B．16　　　C．8　　　D．10 答案：A 3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是____________． 答案：2eq \r(10) 利用基本不等式求最值 [例1] (1)若x>0，求函数y＝x＋eq \f(4,x)的最小值，并求此时x的值； (2)设0<x<eq \f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x>2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值． [思路点拨]　(1)直接应用基本不等式求最值 . (2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]． (3)x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2. (4)利用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可． [解]　(1)∵x>0， ∴x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4， 当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x2＝4，x＝2时取等号． ∴函数y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)在x＝2时取得最小值4. (2)∵0<x<eq \f(3,2)，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2[eq \f(2x＋3－2x,2)]2＝eq \f(9,2). 当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立． ∵eq \f(3,4)∈(0，eq \f(3,2))， ∴函数y＝4x(3－2x)(0<x<eq \f(3,2))的最大值为eq \f(9,2). (3)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2 ≥2eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)， 即x＝4时，等号成立．∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6. 1．常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 2．含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 3．应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可． 4．基本不等式的常见变形 (1)a＋b≥2eq \r(ab)； (2)ab≤(eq \f(a＋b,2))2≤eq \f(a2＋b2,2)(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)． [变式训练] 1．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0.求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)xy＝2x＋8y≥2eq \r(16xy)，当且仅当2x＝8y， 即x＝16，y＝4时等号成立， ∴eq \r(xy)≥8，∴xy≥64， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得eq \f(2,y)＋eq \f(8,x)＝1， ∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,y)＋\f(8,x)))＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)≥10＋8＝18， 当且仅当eq \f(2x,y)＝eq \f(8y,x). 即x＝12，y＝6时等号成立， ∴x＋y的最小值为18. 利用基本不等式求参数的值(范围) [例2] 已知a>0，b>0，若不等式eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立，则m的最大值等于(　　) A．10　　B．9　　　C．8　　　D．7 [思路点拨]　a>0，b>0时，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立，等价于m≤(2a＋b)(eq \f(2,a)＋eq \f(1,b))恒成立，利用基本不等式求解． [解析]　B　[因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立， 只需m≤(2a＋b)(eq \f(2,a)＋eq \f(1,b))恒成立， 而(2a＋b)(eq \f(2,a)＋eq \f(1,b))＝4＋eq \f(2a,b)＋eq \f(2b,a)＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.] 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化． (3)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B. [变式训练] 2．(多选)已知正实数x，y满足x＋2y＝2，若不等式3x2－2m2xy＋6y2＋2x＋4y＞0恒成立，则实数m的值可以为(　　) A．－4 B．－2 C．1 D．3 解析：BC　[由题可得m2＜eq \f(3x2＋6y2＋2x＋4y,2xy)恒成立． ∵(x＋2y)2＝4＝2x＋4y， ∴m2＜eq \f(3x2＋6y2＋2x＋4y,2xy)＝eq \f(3x2＋6y2＋x＋2y2,2xy)＝eq \f(4x2＋10y2＋4xy,2xy)＝eq \f(2x,y)＋eq \f(5y,x)＋2， 而eq \f(2x,y)＋eq \f(5y,x)≥2eq \r(\f(2x,y)·\f(5y,x))＝2eq \r(10)，当且仅当2x2＝5y2，即x＝eq \f(4\r(10)－10,3)，y＝eq \f(8－2\r(10),3)时取等号，则m2＜2eq \r(10)＋2≈8.] 利用基本不等式解决实际问题 [例3] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比eq \f(A1B1,B1C1)＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ [思路点拨]　设出长和宽，列出面积公式． [解]　(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝eq \f(20\r(10),\r(x)). 则S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·eq \f(20\r(10),\r(x))＋160 ＝80eq \r(10)(2eq \r(x)＋eq \f(5,\r(x)))＋4 160(x>1)． (2)因为80eq \r(10)(2eq \r(x)＋eq \f(5,\r(x)))＋4 160≥80eq \r(10)×2eq \r(2\r(x)×\f(5,\r(x)))＋4160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2eq \r(x)＝eq \f(5,\r(x))，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100，所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． [变式训练] 3．某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)． (1)将2024年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数； (2)该厂家2024年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－eq \f(2,m＋1)， 又每件产品的销售价格为1.5×eq \f(8＋16x,x)元， ∴y＝x(1.5×eq \f(8＋16x,x))－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m ＝4＋8(3－eq \f(2,m＋1))－m ＝－[eq \f(16,m＋1)＋(m＋1)]＋29(m≥0)． (2)∵m≥0，eq \f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq \r(16)＝8，当且仅当eq \f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3时等号成立， ∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21. 故该厂家2024年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元． 1．已知x>－2，则x＋eq \f(1,x＋2)的最小值为(　　) A．－eq \f(1,2)　 B．－1　　C．2　　D．0 答案：D 2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　) A．5千米处　　　　 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处 答案：A 3．已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为____________． 答案：2＋eq \r(3) 4．若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立．则a的取值范围是____________． 答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≥\f(1,5))) 5．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解：设该厂每x天购买一次面粉．其购买量为6x吨． 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则y1＝eq \f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋eq \f(900,x)＋10 809≥2eq \r(9x·\f(900,x))＋10 809＝10 989(元)， 当且仅当9x＝eq \f(900,x)，即x＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. $$