1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

1．5．2　全称量词命题与存在 量词命题的否定 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 第一章 集合与常用逻辑用语 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课程标准 素养解读 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养 [情境引入] 一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．” [问题]　请问探险家该如何保命？ 提示　探险家应该说“我将被五马分尸”． 如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死； 如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸． 所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着． [知识梳理] [知识点一]　命题的否定　 1．定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．命题p的否定可用“綈p”来表示． 2．命题的否定与原命题的真假关系 命题的否定与原命题的真假性可以用下表(真值表)表示： 命题p 綈p 真 假 假 真 因此，p的否定的真假性可用一句话概括：p的否定与p“一真一假”． 3．常见词语的否定词语 原词语 任意的 任意两个 所有的 能 或 否定词语 某个 某两个 某些 不能 且 [知识点二]　全称量词命题与存在量词命题的否定　 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定形式 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题 1.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ 提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”． 2．对省略量词的命题怎样否定？ 提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题． [预习自测] 1．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3 2．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是(　　) A．∃x0∈∁RQ，x3∈Q B．∃x0∈∁RQ，x 3∉Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 答案：D 3．若命题p：∀x∈R,2x2＋1>0，则綈p是(　　) A．∀x∈R,2x2＋1≤0 B．∃x0∈R,2xeq \o\al(2,0)＋1>0 C．∃x0∈R,2xeq \o\al(2,0)＋1<0 D．∃x0∈R,2xeq \o\al(2,0)＋1≤0 答案：D 全称量词命题的否定 [例1] 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)∀x∈R,1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≤1. (2)所有的正方形都是矩形． (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. (4)正数的绝对值是它本身． [思路点拨]　∀x∈M，p(x)的否定为：∃x∈M，綈p(x)． [解]　(1)该命题的否定：∃x∈R， 1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2>1， 因为∀x∈R，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0， 所以－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≤0， 1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≤1恒成立，所以这是一个假命题． (2)该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0,12＝1,22＝4,32＝9,42＝16,52＝25；62＝36,72＝49,82＝64,92＝81，……，所以这是一个假命题． (4)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身．这是一个假命题． 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个实例即可． [变式训练] 1．写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)任何一个圆都是轴对称图形； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数末位是0. 解：(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行． (2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形． (3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： (1)有些分数不是有理数． (2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20. (3)在实数范围内，有些一元二次方程无解． (4)有些梯形的对角线相等． [思路点拨]　∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，綈p(x)． [解]　(1)该命题的否定：任意分数都是有理数，这是一个真命题． (2)该命题的否定：∀x，y∈Z,3x－4y≠20，当x＝4，y＝－2时，3x－4y＝20.因此这是一个假命题． (3)该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解，这是一个假命题． (4)该命题的否定：所有梯形的对角线不相等，如等腰梯形的对角线相等，因此这是一个假命题． 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． [变式训练] 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． ①有些实数的绝对值是正数； ②某些平行四边形是菱形； ③∃x0，y0∈Z，使eq \r(2)x0＋y0＝3. 解析：①命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． ②命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． ③命题的否定是“∀x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 全称量词命题、存在量词命题的否定的应用 [例3] 若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为____________． [思路点拨]　先写出命题的否定，然后判断． [解析]　方法一：由题意，知命题“对任意实数x，使x2＋ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝a2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2. 方法二：由题意，知命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0是假命题．若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”是真命题，则Δ＝a2－4×1×1>0，解得a>2或a<－2，所求实数a的取值范围是{a|－2≤a≤2}． 答案：{a|－2≤a≤2} 1．含有一个量词命题的否定的步骤与方法 (1)确定类型：是存在量词命题还是全称量词命题． (2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．注意无量词的全称命题要先补回量词再否定． (3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． 2．知命题真假求参数的范围的两个关注点 (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围． [变式训练] 3．已知命题“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，求a的取值范围． 解：因为命题“∃x∈{x|1≤x≤2}， 使x2＋2x＋a≥0”为真命题， x∈{x|1≤x≤2}时，x2＋2x的最大值为8， 所以a≥－8时，命题“∃x∈{x|1≤x≤2}， 使x2＋2x＋a≥0”为真命题． 所以a的取值范围：{a|a≥－8}． 1．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为(　　) A．∀x∈N，x3≤x2 B．∃x∈N，x3>x2 C．∃x∈N，x3<x2 D．∃x∈N，x3≤x2 答案：D 2．以下三个命题中，真命题的个数是(　　) ①若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1； ②存在正实数a，b，使得a＋b＝ab； ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”． A．0　 B．1　　C．2　　D．3 答案：D 3．若命题p：∀x∈R，eq \f(1,x－2)<0，则綈p：____________. 答案：∃x∈R，eq \f(1,x－2)>0或x－2＝0. 4．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？____________(填“是”“否”中的一种) 答案：是 5．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3. (2)q为真，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2. 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≤5，,2m－1≥－2，,m≥2.))解得2≤m≤4. $$