第7章 1.1 直线拟合&1.2 一元线性回归方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．已知X与Y之间的一组数据 X 0 1 2 3 Y 1 3 5 7 若Y与X可以直线拟合，则y与x的线性回归直线Y＝X＋必过点(　　) A．(2,2)　　　　 B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4) 解析：D　[∵＝＝1.5，＝＝4， ∴回归直线必过点(1.5,4)．] 2．一位母亲记录了儿子3岁～9岁的身高，由此建立的身高Y(单位：cm)与年龄X(单位：岁)的回归模型为Y＝7.19X＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是(　　) A．身高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上 C．身高在145.83 cm以下 D．身高在145.83 cm左右 解析：D　[X＝10时，Y＝7.19×10＋73.93＝145.83，但这是预测值，而不是精确值，所以只能选D.] 3．如果在一次试验中，测得(X，Y)的四组数值分别是(1,2.2)，(2,3.3)，(4,5.8)，(5,6.7)，则Y关于X的线性回归方程是(　　) A．Y＝0.15X＋4.05 B．Y＝X＋1.45 C．Y＝1.05X＋1.15 D．Y＝1.15X＋1.05 解析：D　[＝×(1＋2＋4＋5)＝3，＝×(2.2＋3.3＋5.8＋6.7)＝4.5，∴＝＝＝＝1.15，∴＝－ ＝4.5－1.15×3＝1.05，∴线性回归方程为Y＝1.15X＋1.05.] 4．某学校的课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表： X 10 20 30 40 50 Y 62 ■ 75 81 89 由最小二乘法求得线性回归方程为Y＝0.67X＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为(　　) A．67 B．68 C．69 D．70 解析：B　[由题意可得＝×(10＋20＋30＋40＋50)＝30，设模糊不清的数据为t，则有＝×(62＋t＋75＋81＋89)＝(t＋307)，因为线性回归方程Y＝0.67X＋54.9过样本点的中心(，)，所以(t＋307)＝0.67×30＋54.9，解得t＝68.] 5．在一项调查中有两个变量X和Y，如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为Y关于X的线性回归方程的函数类型是(　　) A．Y＝a＋bX B．Y＝c＋d C．Y＝m＋nX2 D．Y＝p＋qcX(q>0) 解析：B　[散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D.] 6．已知X与Y之间的一组数据如表： X 3 4 5 6 Y 30 40 60 50 若Y与X线性相关，根据上表求得Y与X的线性回归方程Y＝X＋中的为8，据此模型预测X＝7时，Y的值为(　　) A．70　　　B．63　　　C．65　　　D．66 解析：C　[＝×(3＋4＋5＋6)＝4.5，＝(30＋40＋60＋50)＝45， 则样本点的中心的坐标为(4.5,45)，代入Y＝X＋中，得45＝8×4.5＋，可得＝9. ∴Y＝8X＋9.取X＝7，可得Y＝8×7＋9＝65.] 7．某年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某市场为了了解某品牌羽绒服的月销售量Y(件)与月平均气温X(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表： 月平均气温X/℃ 17 13 8 2 月销售量Y/件 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程Y＝X＋中的＝－2.气象部门预测下个月的平均气温为6℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售件数为　________　. 解析：由表格得(，)为(10,38)，又(，)在回归直线Y＝X＋上，且＝－2，所以38＝－2×10＋，＝58，所以Y＝－2X＋58，当x＝6时，Y＝－2×6＋58＝46. 答案：46 8．对具有线性相关关系的变量X和Y，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为　________　. 解析：由题意知＝2，＝3，b＝6.5，所以a＝－b＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为Y＝－10＋6.5X.] 答案：Y＝－10＋6.5X 9．用模型Y＝aekx拟合一组数据组(xi，yi)(i＝1,2,3，…7)，其中x1＋x2＋…＋x7＝7，设Z＝lnY，得变换后的线性回归方程为Z＝x＋4，则y1y2…y7＝(　　) A．e70　　　B．e35　　　C．70　　　D．35 解析：B　[因为x1＋x2＋…＋x7＝7， 所以＝＝1，则＝＋4＝5， 即(ln y1＋lny2＋…＋ln y7)＝5， 即ln(y1y2…y7)＝35，所以y1y2…y7＝e35.] 10．已知变量X，Y有如下对应数据. X 1 2 3 4 Y 1 3 4 5 (1)作出散点图； (2)用最小二乘法求关于X，Y的线性回归方程． 解：(1)散点图如图所示． (2)＝＝，＝＝， xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， x＝1＋4＋9＋16＝30， ＝＝， ＝－×＝0， 所以Y＝X即为所求的线性回归方程． 11．(多选)两个相关变量X，Y的5组对应数据如表： X 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 Y 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 根据上表，可得线性回归方程Y＝X＋，求得＝0.78.据此估计，以下结论正确的是(　　) A.＝10 B.＝9 C.＝0.2 D．当X＝15时，Y＝11.95 解析：AC　[由题意可知＝×(8.3＋8.6＋9.9＋11.1＋12.1)＝10，所以A正确； ＝×(5.9＋7.8＋8.1＋8.4＋9.8)＝8，所以B不正确；可得＝－ ＝8－0.78×10＝0.2，所以C正确；当X＝15时，Y＝0.78×15＋0.2＝11.90，所以D不正确．] 12．以Y＝cekX拟合一组数据时，经Z＝ln Y代换后的线性回归方程为Z＝0.3X＋4，则c＝　________　，k＝　________　. 解析：因为Y＝cekX，所以ln Y＝ln(cekX)＝ln c＋ln ekX＝ln c＋kX，令Z＝ln Y， 则Z＝ln c＋kX，又Z＝0.3X＋4，所以ln c＝4，k＝0.3，则c＝e4，k＝0.3. 答案：e4　0.3 13．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 温差X(℃) 10 11 13 12 8 发芽数Y(颗) 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验． (1)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出Y关于X的线性回归方程Y＝X＋； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？ 解：(1)由数据求得，＝12，＝27. 由公式求得，＝，＝－ ＝－3. 所以Y关于X的线性回归方程为Y＝X－3. (2)当X＝10时，Y＝×10－3＝22，|22－23|＜2； 当X＝8时，Y＝×8－3＝17，|17－16|＜2. 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． [素养培优练] 14．某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成散点图．光照时长为X(单位：小时)，大棚蔬菜产量为Y(单位：千斤每亩)，记w＝ln X. (1)根据散点图判断，Y＝a＋bX与Y＝c＋d·ln X，哪一个适宜作为大棚蔬菜产量Y关于光照时长X的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立Y关于X的回归方程； (3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6～14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时(自然对数的底数e≈2.718 28)时，大棚蔬菜亩产约为多少(结果保留两位小数)． 参考数据： xi yi wi x y w xiyi wiyi 290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1 参考公式：Y关于X的线性回归方程Y＝X＋，＝，＝－ . 解：(1)由散点图可知，Y＝c＋d·ln X适宜作为大棚蔬菜产量Y关于光照时长X的回归方程类型； (2)记w＝ln X，则Y＝c＋d·ln X化为Y＝dw＋c， 由表中数据可知，＝wi＝2.6， ＝yi＝×102.4＝5.12， ∴＝＝＝≈3.26，＝－ ＝5.12－3.26×2.6≈－3.36. ∴Y关于X的回归方程为Y＝3.26ln X－3.36； (3)在Y＝3.26 ln X－3.36中，取X＝e2，可得Y＝3.26 ln e2－3.36＝6.52ln e－3.36＝6.52×1－3.36＝3.16. 估计当光照时长为e2小时时，大棚蔬菜亩产约为3.16千斤． 学科网（北京）股份有限公司 $$