第2章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．若直线y＝kx＋2与椭圆 ＋ ＝1相切，则斜率k的值是(　　) A. 　　　　　　 B．－ C．± D．± 解析：C　[由消去y，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±.] 2．无论k为何值，直线y＝kx＋2和曲线＋＝1交点情况满足(　　) A．没有公共点 B．一个公共点 C．两个公共点 D．有公共点 解析：D　[因为y＝kx＋2过定点(0,2)，且椭圆＋＝1的上顶点也为(0,2)，所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，所以无法确定直线与椭圆的公共点是一个还是两个．] 3．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 解析：C　[∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1,0)，又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部，∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．] 4．已知双曲线－ ＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是(　　) A．(1， )　　　 B．(1， )∪( ，＋∞) C．( ，＋∞) D．[ ，＋∞) 解析：C　[双曲线的一、三象限渐近线的斜率k＝，要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点，只要满足>2即可，∴>2，∴>2，∴e>.] 5．(多选)过点(－2,1)作直线l，与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则下列直线l的方程满足条件的是(　　) A．y＝1 B．x＋2y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－2y＋4＝0 解析：ACD　[由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x＋2)， 由方程组(*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① 当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝，这时，直线l与抛物线只有一个公共点，此时直线l的方程为y＝1. 当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)． 当Δ＝0时，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点． 此时直线l的方程为y－1＝－1(x＋2)或y－1＝(x＋2)，即x＋y＋1＝0或x－2y＋4＝0.] 6．已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是　____________　. 解析：由题意知k≠0.因为直线l与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.由k2>0，得t>0或t<－2.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理，得x2－4kx－4t＝0，于是由Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，得t>0或t<－3.综上，实数t的取值范围是(－∞，－3)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－3)∪(0，＋∞) 7．斜率存在的直线l过点(0，－1)并与双曲线C：－x2＝1有且只有一个公共点，则直线l斜率为　_____________　. 解析：由题意，设直线l的方程为y＝kx－1，代入双曲线方程化简可得(k2－4)x2－2kx－3＝0， 当k2＝4即k＝±2时，(k2－4)x2－2kx－3＝0只有一解，满足直线l与双曲线有且只有一个公共点；当k≠±2时，令Δ＝4k2＋12(k2－4)＝0，解得k＝±，此时方程有两个相等实数根，满足直线l与双曲线有且只有一个公共点；所以k＝±2或k＝±. 答案：±或± 8．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围． 解：因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在椭圆＋＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以≤1，即m≥1. 当m＝5时，＋＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．因此，m的取值范围为[1,5)∪(5，＋∞)． [能力提升练] 9．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：C　[将直线y＝x＋m与椭圆联立，消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2， 由题意可知S△F1AB＝2S△F2AB，设椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，到直线y＝x＋m的距离分别为d1、d2，所以有·|AB|·d1＝2×·|AB|·d2，即d1＝2d2，将d1＝，d2＝代入上式，解得m＝－或－3(舍去)．] 10．若直线l：y＝kx＋2与双曲线C：x2－y2＝4的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是(　　) A．(－，－1) B．(1，) C．(－，) D．(－1,1) 解析：D　[当直线l：y＝kx＋2与双曲线C：x2－y2＝4的渐近线y＝±x平行时，k＝±1，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示： 因为直线l：y＝kx＋2与双曲线C：x2－y2＝4的左、右两支各有一个交点，所以k的取值范围为(－1,1)．] 11．椭圆 ＋ ＝1上的点到直线x－2y－12＝0的距离的最大值为　________　，取得最大值时对应的点的坐标为　________　. 解析：易知直线x－2y－12＝0与椭圆＋＝1相离．设与椭圆相切的直线l平行于直线x－2y－12＝0，则直线l的方程为y＝x＋t. 由方程组消去y，得x2＋tx＋t2－12＝0，由Δ＝0，得t＝4或t＝－4， 当t＝4时，直线l与直线x－2y－12＝0的距离最大，此时l的方程为y＝x＋4，即x－2y＋8＝0，此时直线l与直线x－2y－12＝0的距离d＝4.所以距离的最大值为4. 当t＝4时，由方程组得到的一元二次方程为x2＋4x＋4＝0，得x＝－2，即直线l与椭圆＋＝1相切，得到的切点坐标为(－2,3)． 答案：4　(－2,3) 12．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围． 解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1. (2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0， 由直线l与双曲线交于不同的两点得： 即k2≠且k2<1.① 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝， xAxB＝， 由·>2得xAxB＋yAyB>2， 而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2 ＝(k2＋1)·＋＋2＝， 于是>2，解此不等式得<k2<3.②　由①②得<k2<1. 故k的取值范围是∪. [素养培优练] 13．阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：(1)P点必在抛物线的准线上；(2)△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；(3)PF⊥AB.已知过抛物线x2＝16y焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，过点A，B处的切线交于点P，若点P的横坐标为2，则直线AB的方程为(　　) A．x＋2y－8＝0 B．x－2y＋8＝0 C．x－4y＋16＝0 D．x＋4y－16＝0 解析：C　[抛物线x2＝16y的焦点F的坐标为(0,4)，准线方程为y＝－4， 由题意知，△PAB为“阿基米德三角形”，可得P点必在抛物线的准线上， 所以点P(2，－4)，直线PF的斜率为＝－4，又因为PF⊥AB，所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝x＋4，即x－4y＋16＝0.] 14．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1， 即＝|x|＋1， 化简整理得y2＝2(|x|＋x)． 故点M的轨迹C的方程为y2＝ (2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x＜0)． 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)． 由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① (ⅰ)当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝. 故此时直线l∶y＝1与轨迹C恰好有一个公共点. (ⅱ)当k≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k2＋k－1)．② 设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则 由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③ (a)若由②③解得k＜－1，或k＞. 即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点． (b)若或 由②③解得k∈，或－≤k＜0. 即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点． 当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点． 故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点． (c)若由②③解得－1＜k＜－，或0＜k＜. 即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点， 故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点． 综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点； 当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点； 当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点． 学科网（北京）股份有限公司 $$