第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．(多选)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的(　　) A．2　　　　　　　　 B．－1 C．4 D．－3 解析：AB　[设双曲线的方程为－＝1，则c＝3.∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－<m<，且m≠，∴A，B满足条件．] 2．方程－ ＝1表示双曲线，则m的取值范围为(　　) A．－2＜m＜2 B．m＞0 C．m≥0 D．|m|≥2 解析：A　[∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.] 3．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：D　[由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2,0)，将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3，又点A的坐标是(1,3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝，选D.] 4．(多选)已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是(　　 ) A．爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上 B．爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上 C．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为米 D．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为680米 解析：BD　[依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设爆炸点为C，则|CA|－|CB|＝340×2＝680<800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上．所以A选项错误，B选项正确．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以＝4，即|CA|＝2|CB|，结合|CA|－|CB|＝680可得|CB|＝680.所以C选项错误，D选项正确．] 5．(多选)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(　　 ) A．若C为椭圆，则1<t<3 B．若C为双曲线，则t>3或t<1 C．曲线C可能是圆 D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2 解析：AD　[若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线； 若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线； 若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆； 若1<t<2，则0<t－1<3－t，故方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆； 若t＝2，方程＋＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.] 6．若双曲线－＝1的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为　______　. 解析：依题意可知c＝3，当双曲线的焦点在x轴上时，m>5，c2＝m＋m－5＝9，所以m＝7；当双曲线的焦点在y轴上时，m<0，c2＝－m＋5－m＝9，所以m＝－2综上，m＝7或m＝－2. 答案：7或－2 7．已知双曲线C： － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|, 则|PF1|＝　________　，△PF1F2的面积等于　________　. 解析：在－＝1中，a＝3, b＝4, c2＝a2＋b2＝25，∴c＝5. ∴ |PF2|＝|F1F2|＝2c＝10. 又P为双曲线C的右支上一点， ∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6, ∴|PF1|＝16. 过点F2作F2T⊥PF1于点T， 则T为PF1的中点． ∴|PT|＝8，∴|F2T|＝6， ∴S△PF1F2＝×16×6＝48. 答案：16　48 8．已知双曲线两个焦点分别是F1，F2，点P(，1)在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为60°的直线与双曲线交于A，B两点，求△F1AB的周长． 解：(1)∵F2(，0)，P(，1)∴PF2⊥x轴， ∴|PF2|＝＝1且c＝ 又c2＝a2＋b2，即a2＋a－2＝0，解得：a＝1， ∴b2＝1，∴双曲线的标准方程为：x2－y2＝1. (2)由(1)知，双曲线渐近线为y＝x，倾斜角为45° ∵直线AB过F2且倾斜角为60° ∴A，B均在双曲线的右支上 ∴|BF1|－|BF2|＝2，|AF1|－|AF2|＝2 ∴|AF1|＋|BF1|＝4＋|AF2|＋|BF2|＝4＋|AB| 设直线AB方程为：y＝(x－) 代入双曲线方程得：2x2－6x＋7＝0 ∴|AB|＝·＝4 ∴△F1AB的周长为：|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4＋2|AB|＝12 [能力提升练] 9．若F1，F2是双曲线8x2－y2＝8的两焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长为(　　) A．17 B．16 C．20 D．16或20 解析：D　[双曲线8x2－y2＝8可化为标准方程x2－＝1，所以a＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因为点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6，或|PF2|＝|F1F2|＝6，当|PF1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF2|＝|PF1|－2a＝6－2＝4，所以△PF1F2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF2|＝6时，△PF1F2的周长为6＋6＋8＝20.] 10．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若∠AF2B＝60°，则△AF2B的内切圆半径为(　　 ) A.　　 B.　　 C.　　 D．2 解析：A　[设内切圆的圆心为M(x，y)，设圆M与三角形的边分别切于T，Q，S， 如图所示：连接MS，MT，MQ，由内切圆的性质可得：|F2T|＝|F2S|，|AT|＝|AQ|，|BS|＝|BQ|， 所以|AF2|－|AQ|＝|AF2|－|AT|＝|F2T|，|BF2|－|BQ|＝|BF2|－|BS|＝|F2S|， 所以|AF2|－|AQ|＝|BF2|－|BQ|， 由双曲线的定义可知：|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|＝2a， 所以可得Q，F1重合，所以|TF2|＝2a＝4， 所以r＝|MT|＝|TF2|tan ＝.] 11．在平面直角坐标系xOy中，若点M不与点O重合，则称射线OM与圆x2＋y2＝的交点N为M的“中心投影点”． (1)点M(，1)的“中心投影点”的坐标为　________　； (2)曲线－y2＝1上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是　____________　. 解析：(1)设点M(，1)的中心投影点的坐标为N(x，y)，||＝＝2，|ON|＝，因此＝＝(，1)＝，所以N； (2)双曲线－y2＝1的渐近线方程为：y＝±x⇒y＝±，因此其中一条渐近线的倾斜角为，由中心投影点的定义可知：中心投影点构成的曲线是圆x2＋y2＝夹在两渐近线之间的两段圆弧，所以曲线长度为2×2××＝. 答案：　 12.如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A、B、C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒(注：信号每秒传播v0千米)． (1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如题图)，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标以及与检测中心O的距离； (3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？ 解：(1)设观察员可能出现的位置的所在点为P(x，y)，因为A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒，故|PB|－|PA|＝×v0＝40<|AB|＝60. 故点P的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0，x<0) 由题可知2a＝40,2c＝60，解得b2＝c2－a2＝500， 故点P的轨迹方程为－＝1(x<0)． (2)因为A(－30,0)，C(0,30)，设AC的垂直平分线方程为y＝kx，由k×＝－1，得k＝－1，则AC的垂直平分线方程为y＝－x. 联立－＝1(x<0)，可得x2＝，故x＝－20，y＝20. 故观察员遇险地点坐标为与检测中心O的距离为＝20 km. (3)设轨迹上一点为P(x，y)，则|PC|＝＝ 又因为－＝1，可得x2＝y2＋400， 代入可得：|PC|＝＝ ≥＝20， 当且仅当y＝时，取得最小值20.故扫描半径r至少是20 km. [素养培优练] 13．(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1、F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　 ) A．点P到x轴的距离为 B．|PF1|＋|PF2|＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝ 解析：BC　[因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为S△PF1F2＝·2c|yP|＝×10×|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误；将|yP|＝4代入C：－＝1得－＝1，即|xP|＝.由对称性，不妨取P的坐标为，可知|PF2|＝＝.由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，所以选项B正确； 在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝.且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝≠，∠F1PF2≠，所以选项D错误．] 14．(2023·高考上海卷)已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|·|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则(　　) A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 解析：B　[∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|·|MQ|＝1成立，故①正确，在双曲线中，|PM|max→＋∞，而|QM|min是个固定值，则无法对任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②错误．] 学科网（北京）股份有限公司 $$