第1章 2.4 圆与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．已知圆A与圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为(　　) A．6 cm或14 cm　　　　 B．10 cm C．14 cm D．无解 解析：A　[∵圆A与圆B相切包括内切与外切，设圆B的半径为r cm， ∴10＝4＋r或10＝r－4，即r＝6或14.] 2．以圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为(　　 ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.2＋2＝ D.2＋2＝ 解析：B　[两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x－y＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C、D选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.] 3．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36 解析：D　[由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.] 4．(多选)如果圆(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1上存在两个不同的点P、Q，使得|OP|＝|OQ|＝2(O为坐标原点)，则a的可能取值为(　　) A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D．3 解析：ABC　[由题意知点P、Q满足|OP|＝|OQ|＝2，则P、Q在以(0,0)为圆心，半径为2的圆上．其方程为x2＋y2＝4.若圆(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1上存在两个不同的点P、Q满足条件，则两个圆有两个交点．即a2－3a＜0且a2－3a＋4＞0，解得0＜a＜3.故A、B、C正确． 5．过点P(2,3)向圆C∶x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在直线的方程为(　　) A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0 解析：B　[弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在直线的方程为(x－1)2＋2－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0.] 6．已知两圆相交于两点A(a,3)，B(－1,1)，若两圆圆心都在直线x＋y＋b＝0上，则a＋b的值是　________________　 . 解析：由A(a,3)，B(－1,1)，设AB的中点为M，根据题意，可得＋2＋b＝0，且kAB＝＝1，解得，a＝1，b＝－2，故a＋b＝－1.故答案为：－1. 答案：－1 7．已知C，D是圆A：(x＋1)2＋y2＝1与圆B∶x2＋(y－2)2＝4的公共点，则△BCD的面积为　____________　. 解析：C，D是圆A：(x＋1)2＋y2＝1与圆B∶x2＋(y－2)2＝4的公共点，可得CD的方程为2x＋4y＝0，即x＋2y＝0. 圆B∶x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2， 点B到CD的距离为＝，∴|CD|＝2＝ . 故△BCD的面积为××＝. 答案： 8．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x＋m＝0. (1)若圆C1与圆C2外切，求实数m的值； (2)在(1)的条件下，若直线x＋2y＋n＝0与圆C2的相交，弦长为2，求实数n的值． 解：(1)由题意，圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为C1(0，0)，半径为r＝1， 圆C2：x2＋y2－6x＋m＝0的圆心坐标为C2(3,0)，半径为R＝， 因为圆C1与C2相外切，所以|C1C2|＝r＋R，即3＝1＋，解得m＝5. (2)由(1)得m＝5，圆C2的方程为(x－3)2＋y2＝4，可得圆心C2(3,0)，半径为r2＝2， 由题意可得圆心C2到直线x＋2y＋n＝0的距离d＝，又由圆的弦长公式，可得＝＝1，即|n＋3|＝，解得n＝－3＋，或n＝－3－. [能力提升练] 9．(多选)集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r可能的取值是(　　 ) A. B. C．1 D. 解析：AB　[由已知M∩N＝N，知N⊆M，所以圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，所以2－r≥，所以0＜r≤2－.] 10．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－6)2＝25，圆C2：(x－17)2＋(y－30)2＝r2.若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于A、B两点，且满足|PA|＝2|AB|，则半径r的取值范围是(　　 ) A．[5,55]　　　　 B．[5,50] C．[10,50] D．[10,55] 解析：A　[圆C1：(x＋1)2＋(y－6)2＝25的圆心为(－1,6)，半径为5.圆C2：(x－17)2＋(y－30)2＝r2的圆心为(17,30)，半径为r. 两个圆的圆心距为＝30. 如图：因为|PA|＝2|AB|，可得|AB|的最大值为直径，此时|C2A|＝20，r>0. 当半径扩大到55时，此时圆C2上只有一点到C1的距离为25，而且是最小值，半径再扩大，就不会满足|PA|＝2|AB|.] 11．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是　________　. 解析：⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA. 又因为|OA|＝，|O1A|＝2，所以|OO1|＝5.又A，B关于OO1所在直线对称，所以AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，所以|AB|＝2×＝4. 答案：4 12．如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点A( ,0)，与直线y＝2 x相切于点B. (1)求圆M的方程； (2)圆M和圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，求线段PQ的长度． 解：(1)已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点A(，0)，设圆心M(，b)，b＞0，则圆M的方程为(x－)2＋(y－b)2＝b2. 由于该圆M与直线y＝2x相切于点B，故有＝b，求得b＝1， 故圆M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1. (2)∵圆M和圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，把两个圆的方程相减，可得PQ的方程为2x＋2y－3＝0. 由于点O到直线PQ的距离为d＝＝，故弦长PQ＝2 ＝2×＝1. [素养培优练] 13．设集合Ω＝{(x，y)|(x－k)2＋(y－k2)2＝4|k|，k∈Z}， ①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧； ②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；(　　) A．①成立　②成立 B．①成立　②不成立 C．①不成立　②成立 D．①不成立　②不成立 解析：B　[当k＝0时，集合Ω＝{(x，y)|(x－k)2＋(y－k2)2＝4|k|，k∈Z}＝{(0,0)}， 当k＞0时，集合Ω＝{(x，y)|(x－k)2＋(y－k2)2＝4|k|，k∈Z}， 表示圆心为(k，k2)，半径为r＝2的圆， 圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f(k)＝2单调递增， 相邻两个圆的圆心距d＝ ＝，相邻两个圆的半径之和为l＝2＋2， 因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离， 当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确， 若直线l斜率不存在，显然不成立， 设直线l：y＝mx＋n，若考虑直线l与圆(x－k)2＋(y－k2)2＝4|k|的焦点个数， 给定m，n，当k足够大时，均有d＞r， 故直线l只与有限个圆相交，②错误．] 14．在平面直角坐标系xOy中， 已知圆C1 : x2＋y 2＝8与圆C2 : x2＋y 2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为　______　. 解析：由题意知直线AB的方程为：2x＋y＋8－a＝0，当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，设C1到AB的距离为d，因为△ABP等腰直角三角形，所以d＝|AB|，即d＝ ，所以d＝2， 所以＝d＝2，解得a＝8±2，当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1，则8－a＝0，即a＝8. 答案：{8,8－2，8＋2} 学科网（北京）股份有限公司 $$