第2章 3.1 抛物线及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§3　抛物线 3．1　抛物线及其标准方程 课程标准 素养解读 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程 3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题 1.通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养 2．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养 [情境引入] 生活中存在着各种形式的抛物线 [设问]　初中老师告诉同学们一元二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，但一元二次函数y＝ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线而不是双曲线的一支呢？那满足什么条件的点的轨迹是抛物线？ [知识梳理] [知识点一]　抛物线的定义　 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　相等　的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 　定点F　叫作抛物线的焦点 准线 　定直线l　叫作抛物线的准线 集合表示 P＝{M|　|MF|＝d　，d为点M到准线l的距离} 1.抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？ [提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． [知识点二]　抛物线的标准方程　 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 　y2＝2px(p>0)　 　F　 x＝－ 　y2＝－2p(p>0)　 F x＝ 　x2＝2py(p>0)　 　F(0，)　 y＝－ 　x2＝－2py(p>0)　 　F(0，－)　 y＝ 2.(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？ (2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？ [提示]　(1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数．(×) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.(√) (3)抛物线的开口方向由一次项确定．(√) (4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×) (5)y＝4x2的焦点坐标为(1,0)．(×) (6)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(√) 2．对抛物线x2＝－4y，下列描述正确的是(　　) A．开口向下，焦点为(0，－1) B．开口向下，焦点为 C．开口向右，焦点为(－1,0) D．开口向右，焦点为 解析：A　[抛物线x2＝－4y开口向下，焦点为(0，－1)．] 3．抛物线x＝4y2的准线方程是(　　 ) A．y＝　　　　 B．y＝－1 C．x＝－ D．x＝ 解析：C　[由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.] 4．已知抛物线的焦点坐标是F(0,2)，则它的标准方程为　________________________　. 解析：由条件可知，抛物线的焦点在y轴正半轴上，且＝2，即p＝4，所以它的标准方程为x2＝8y. 答案：x2＝8y 　　　求抛物线的标准方程 [例1]　分别求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为y＝； (2)过点(－3,2)； (3)焦点在直线x－2y－4＝0上； (4)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5. [思路点拨]　根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式． [解]　(1)∵抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，即p＝，∴所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)根据点(－3,2)在第二象限，设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)， 将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝， 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y. (3)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2， ∴抛物线的焦点坐标为(0，－2)． 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由＝2，得2p＝8，∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y. ②令y＝0，由x－2y－4＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点坐标为(4,0)． 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则由＝4， 得2p＝16， ∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为y2＝16x 或x2＝－8y. (4)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，即m＝±5，∴满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. (1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (2)求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 ①把握开口方向与方程间的对应关系． ②当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． ③注意p与的几何意义． [变式训练] 1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 解：(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝－x 或x2＝－9y. (2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)． 当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x. ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 　　　抛物线的定义的应用 [例2]　(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； (2)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程． [思路点拨]　(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程． (2)利用|MC|的长度比点M到直线y＝2的距离大1求解． [解]　(1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由＋3＝5得p＝4，因此抛物线方程为x2＝－8y，其准线方程为y＝2，由m2＝24得m＝±2. (2)设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心M的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y. 抛物线定义的应用 实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． [变式训练] 2．已知点P(x，y)到定点M的距离比它到x轴的距离大，则PM＝　______　，点P的轨迹点C的方程为　__________________　. 解析：依题意，得|PM|＝|y|＋，即 ＝|y|＋①，则 －＝|y|，两边平方得x2＋2－＋＝y2，则x2－＝②，两边平方得x4－2x2＋2＝x2＋2，整理得x4－2y·x2＝0，即x2(x2－2y)＝0，可得y＝或x＝0.当x＝0时，②转化为＝－，所以y－≤0，此时①转化为＝－y＝|y|＋，|y|＝－y，所以y≤0，所以点P的轨迹C的方程为y＝或x＝0(y≤0)． 答案：|y|＋　y＝或x＝0(y≤0) 　　　抛物线中的最值问题 [例3]　已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标． [思路点拨]　利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离． [解]　如图，作PN⊥l于点N(l为准线)，作AB⊥l于点B， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当且仅当P为AB与抛物线的交点时，等号成立． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5. 此时yP＝2，代入抛物线方程，得xP＝1，∴P(1,2)． 利用抛物线的定义求最值的策略 对于条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化． [变式训练] 3．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”(图1)，非常美丽．桥上一抛物线形的拱桥(图2)跨度AB＝30 m，拱高OP＝5 m，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱A1B1的长度为　______　m．(精确到0.01 m) 解析：以O为原点，OB，OP方向分别为x，y轴正向，建立如图所示的直角坐标系： 由题意AB＝30 m，OP＝5 m，所以B(15,0)，P(0,5)， 又抛物线开口向下，所以设y＝－ax2＋5，将点 B(15,0)的坐标代入0＝－225a＋5， 解得a＝，所以抛物线方程为y＝－x2＋5， 又由题意在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，由图可知AB有14个空格， 因此每一个空格的长度为＝ m，所以OA1＝ m，所以设点B1， 又因为点B1在抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程得b＝－×2＋5＝≈4.59. 答案：4.59 [当堂达标] 1．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是(　　 ) A．抛物线 B．线段　 C．直线　 D．射线 解析：A　[动点P的条件满足抛物线的定义．] 2．(多选)对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　 ) A．焦点坐标为(0,1) B．焦点坐标为 C．准线方程为y＝－ D．准线方程为y＝－1 解析：BC　[由y＝4x2，得x2＝y，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.] 3．若点P在抛物线y2＝4x上，点A(5,3)，F为抛物线的焦点，则|PA|＋|PF|的最小值为　______　. 解析：如图，抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，焦点F(1,0)，过点A作AA′⊥l，A′为垂足，AA′与抛物线的交点P，|PF|＝|PA′|，∴|PF|＋|PA|的最小值为|AA′|＝6. 答案：6 4．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|， 即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等， ∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x. 学科网（北京）股份有限公司 $$