第1章 1.3 第3课时 直线方程的一般式&第4课时 直线方程的点法式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

第3课时　直线方程的一般式 第4课时　直线方程的点法式 课程标准 素养解读 1.掌握直线方程的一般式，并会熟练应用 2．会选择适当的方程形式求直线方程 3．掌握一般式与其他形式的互化 通过直线方程的一般式的学习与应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养 [情境引入] 问题：由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形． (1)斜率是1，经过点A(1,8)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是－7,7； (3)经过两点P1(－1,6)，P2(2,9)； (4)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°. 提示：(1)y－8＝x－1；(2)＋＝1；(3)＝；(4)y＝x＋7.如果我们画出这4条直线的图象，你会惊奇地发现：这4条直线是重合的．事实上，它们的方程都可以化简为x－y＋7＝0.这样前几种直线方程就有了统一的形式，这就是本节我们要学习的直线的一般式方程． [知识梳理] [知识点一]　直线的一般式方程　 1．定义：关于x，y的二元一次方程　Ax＋By＋C＝0　(其中A，B不全为0)，表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式。 2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． 1.当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ [提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． (3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． 2．任何直线方程都能表示为一般式吗？ [提示]　能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示． [知识点二]　直线方程的点法式　 1．直线的法向量：与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量． 2．定义：已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)． 直线l的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0，称这个方程为直线方程的点法式． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．(√) (2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．(√) (3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．(×) (4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×) 2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30°　 B．60°　　 C．150°　　 D．120° 解析：C　[直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°.] 3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．] 4．已知直线l过点P(3,1)，且与两点P1(－1,0)，P2(3,2)的连线垂直，则直线l的方程为　______________________　. 解析：∵⊥l，∴＝(3＋1, 2－0)＝(4,2)为所求直线l的一个法向量，即n＝(4,2)， 又∵直线l过点(3,1)，代入直线的点法式方程得 4(x－3)＋2(y－1)＝0. 故所求方程为2x＋y－7＝0 答案：2x＋y－7＝0 　　　直线的一般式方程 [例1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1. [思路点拨]　先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式. [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2，化为一般式方程为4x－y－2＝0. (3)由两点式方程可知， 所求直线方程为＝， 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (4)由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 直线的一般式方程的特征 求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列． [变式训练] 1．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式. (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4,2)，且平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)． 解：(1)由点斜式方程，得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. (2)由点斜式方程，得y－2＝0. (3)由截距式方程，得＋＝1，即2x－y－3＝0. (4)由两点式方程，得＝，即x＋y－1＝0. 　　　直线方程的点法式 [例2]　(1)写出下列直线经过的一个点和直线的一个法向量及方向向量： ①(x＋1)－2(y－4)＝0； ②－(x－3)＋4(y＋2)＝0. (2)求过点P(－3,1)且与向量n＝(－1,3)垂直的直线方程． [思路点拨]　根据直线l的点法式方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0，求解． [解]　(1)①直线(x＋1)－2(y－4)＝0经过点(－1，4)，一个法向量是(1，－2)，一个方向向量是(－2，－1)；②直线－(x－3)＋4(y＋2)＝0经过点(3，－2)，一个法向量是(－1,4)，一个方向向量是(4,1)． (2)由直线方程的点法式，得－(x＋3)＋3(y－1)＝0.故所求直线方程为x－3y＋6＝0. 利用直线的点法式方程求直线的方程关键的问题是通过垂直关系求解直线的法向量，再有直线上的一个点即可代入方程求解． [变式训练] 2．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,2) ，B(3,0)，C(0，－1)，求AB边上的高所在直线的方程． 解：∵＝(3－2,0－2)＝(1，－2)为所求高的法向量，又∵高线过点C(0，－1) 代入点法式方程得1×(x－0)＋(－2)×[y－(－1)]＝0，整理得x－2y－2＝0，∴AB边上的高所在直线的方程为x－2y－2＝0. 　　　 与含参数的一般式方程有关的问题 [例3]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． [思路点拨]　(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0. [解]　(1)证明：法一：将直线l的方程整理为 y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A， 而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式对任意的a总成立， 必有即 即l过定点A. 以下同法一． (2)直线OA的斜率为k＝＝3. 如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3. 直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标； (2)将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点． [变式训练] 3．(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足　________　. (2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝　____________　时，直线的倾斜角为45°；当m＝　____________　时，直线在x轴上的截距为1. 解析：(1)若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0. 解方程组得m＝－3， 所以m≠－3时，方程表示一条直线． (2)因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1， 所以－＝1， 所以 解得所以m＝－1. 因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0得x＝，所以＝1， 所以 解得所以m＝－或m＝2. 答案：(1)m≠－3　(2)－1　－或2 [当堂达标] 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　 ) A．A≠0　　　　　 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析：D　[方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.] 2．直线 x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 解析：B　[设直线的倾斜角为α，斜率为k，化直线方程为y＝x＋a，∴k＝tan α＝.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.] 3．过点P(1,2)，法向量n＝(3,5)的直线l的点法式方程为　________　. 解析：由题意，直线l的点法式方程为3(x－1)＋5(y－2)＝0. 答案：3(x－1)＋5(y－2)＝0 4．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值： (1)直线l的斜率为－1； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. 解：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5. (2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$