第2章 §3 第2课时 函数的单调性与最大（小）值-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．函数f(x)＝－2x在区间(－2，－1]上的最小值为(　　) A．1　　　B.　　　C．－　　　D．－1 解析：A　[因为y＝，y＝－2x在区间(－2，－1]上都是减函数，所以f(x)＝－2x在区间(－2，－1]上单调递减，因为f(x)min＝f(－1)＝－1＋2＝1.] 2．若一次函数y＝kx＋5在[－1,2]上的最小值和最大值分别为－1和8，则k的值是(　　) A．6 B．3 C．－3 D．－4 解析：C　[①当k＞0时，由题可得不符合题意；②当k＜0时，由题可得解得k＝－3，综上得k＝－3.] 3．当x∈∪时，则函数y＝的值域为(　　) A．(－∞，0)　　　　　　　 B. C．(－∞，0)∪ D. 解析：C　[令8－5x＝t，因为x∈∪，所以t∈(0,8]∪(－∞，0)，当t∈(0,8]，函数f(t)＝单调递减，故f(t)≥f(8)＝，当t∈(－∞，0)，即t＜0时，f(t)＝＜0，所以所求函数的值域为(－∞，0)∪.] 4．已知函数f(x)＝，其定义域是[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)有最大值，无最小值 B．f(x)有最大值，最小值 C．f(x)有最大值，无最小值 D．f(x)有最大值2，最小值 解析：A　[因为函数f(x)＝＝＝2＋，由函数的图象可知f(x)在[－8，－4)上单调递减，则f(x)在x＝－8处取得最大值，最大值为，x＝－4取不到函数值，即最小值取不到．] 5．(多选)已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的值是(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：AB　[由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2；当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.] 6．(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是(　　) A．∀x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3 B．∃x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3 C．∃x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3 D．∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t) 解析：AC　[在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中 ，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1,3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3,5]，g(t)的值域是[－1,3]，D错误．] 7．函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是　________　. 解析：f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，所以f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1. 答案：，1 8．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1(a＞0)在区间[－3,2]上的最大值为4，则a＝　________　. 解析：f(x)＝a(x＋1)2－a＋1的对称轴x＝－1， 又a＞0，所以f(x)max＝f(2)＝8a＋1＝4， 解得a＝. 答案： 9．已知二次函数f(x)＝－x2＋x，如果存在实数m，n(m<n)，使得f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m,3n]，那么m＝　______　，n＝　________　. 解析：根据题意，得二次函数f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋图象的对称轴为直线x＝1，最大值为. ①当m<n≤1时，f(x)在[m，n]上单调递增， 则 解得m＝－4，n＝0； ②当m<1<n时，f(x)的最大值为f(1)＝＝3n， 解得n＝，与m<1<n矛盾，不符合题意； ③当1≤m<n时，f(x)在[m，n]上单调递减， 若f(x)的值域为[3m,3n]，则必有3n≤， 解得n≤，不符合题意．故m＝－4，n＝0. 答案：－4　0 10．已知函数f(x)＝－. (1)求证：函数f(x)在[2,3]上是增函数； (2)求f(x)在[2,3]上的最大值和最小值． (1)证明：设x1，x2是区间[2,3]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＋＝， ∵2≤x1＜x2≤3， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴函数f(x)＝－在[2,3]上是增函数． (2)由(1)，得f(x)在[2,3]上的最大值是f(3)＝－1，最小值是f(2)＝－2. 11．求函数y＝2x－1－的最大值． 解：设t＝(t≥0)，则x＝， ∴y＝2×－1－t＝－－t＋ ＝－(t＋1)2＋6. ∵t≥0， ∴y＝f(t)＝－(t＋1)2＋6在[0，＋∞)上为减函数，且有f(t)≤f(0)， ∴当t＝0，即x＝时，y有最大值，为. 12．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)． (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f(x)在上的值域是，求a的值． 解：(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则x2－x1＞0，x1x2＞0， ∴f(x2)－f(x1)＝－－ ＝－＝＞0， ∴f(x2)＞f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)由(1)知f(x)在上单调递增， ∴f＝，f(2)＝2，易得a＝. 13．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值． 解：f(x)＝(x－a)2＋2－a2的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a. 　(1)　　　　　(2)　　　　　　(3) 当a≥1时，函数f(x)的大致图象如图(1)中的实线部分所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a； 当－1＜a＜1时，函数f(x)的大致图象如图(2)中的实线部分所示，函数f(x)在区间[－1,1]上先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时函数f(x)的大致图象如图(3)中的实线部分所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a. 于是f(x)min＝. 14．f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的函数，满足f＝f(x1)－f(x2)，当x＞1时，f(x)＜0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． 解：(1)∵f＝f(x1)－f(x2)， 则令x1＝x2，可得f(1)＝0. (2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则＞1， 因为当x＞1时，f(x)＜0，所以f＝f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (3)∵f(3)＝－1，∴f＝f(9)－f(3)， 即f(9)＝2f(3)＝－2， 由(2)可知f(x)在[2,9]上单调递减， ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$