第2章 §3 第1课时 函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

解析：B　[由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．]

2．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)

A．f(a)＞f(2a)  B．f(a2)＜f(a)

C．f(a2＋a)＜f(a)  D．f(a2＋1)＜f(a2)

解析：D　[因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1＞a2，所以f(a2＋1)＜f(a2)．]

3．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，则－1<f(x)<1的解集是(　　)

A．(－3,0)

B．(0,3)

C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

解析：B　[由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，

∴－1<f(x)<1等价于f(0)<f(x)<f(3)．

∵f(x)在R上单调递增，∴0<x<3.]

4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是(　　)

A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数

B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数

C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数

D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数

解析：C　[根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，选项A，B正确； g(x)为增函数，则－g(x)为减函数，f(x)为减函数，f(x)＋(－g(x))为减函数，选项D正确；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)的增减性不确定．例如f(x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－x时，f(x)＋g(x)＝＋2在R上为增函数；当g(x)＝－3x时，f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数，故不能确定f(x)＋g(x)的单调性．]

5．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)

A．y＝|x|＋1　　　　　　 B．y＝

C．y＝－  D．y＝x＋

解析：CD　[y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．]

6．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列说法中：

①函数f(x)＝x2＋1(x∈R)是单函数；

②函数f(x)＝x3－1(x∈R)是单函数；

③若函数f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；

④若函数f(x)是A上的单函数，则f(x)是A上的单调函数．

其中所有正确说法的序号是　________________　.

解析：对于①，若函数f(x)＝x2＋1(x∈R)是单函数，则由f(x1)＝f(x2)，得x＋1＝x＋1，解得x1＝x2或x1＝－x2，不满足单函数的定义，故①错误；对于②，若函数f(x)＝x3－1(x∈R)是单函数，则由f(x1)＝f(x2)，得x－1＝x－1，解得x1＝x2，满足单函数的定义，故②正确；对于③，若函数f(x)为单函数，x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，其逆否命题为x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)，故③正确；对于④，对于f(x)＝，满足函数f(x)是(1,2)∪(2，＋∞)上的单函数，但f(x)在(1,2)∪(2，＋∞)上不是单调函数，故④错误．

答案：②③

7．若函数f(x)＝(1－2a)x＋3在R上是增函数，则a的取值范围是　________　.

解析：由一次函数性质可得1－2a＞0，解得a＜.

答案：a＜

8．已知函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是　________　.

解析：因为f(2)＝0，所以f(x－1)＞0＝f(2)，因为f(x)在R上的单调递减，所以x－1＜2，

即x＜3.

答案：(－∞，3)