第2章 §3 第1课时 函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 解析：B　[由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．] 2．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a2) 解析：D　[因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1＞a2，所以f(a2＋1)＜f(a2)．] 3．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，则－1<f(x)<1的解集是(　　) A．(－3,0) B．(0,3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：B　[由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1， ∴－1<f(x)<1等价于f(0)<f(x)<f(3)． ∵f(x)在R上单调递增，∴0<x<3.] 4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是(　　) A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数 B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数 C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数 D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数 解析：C　[根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，选项A，B正确； g(x)为增函数，则－g(x)为减函数，f(x)为减函数，f(x)＋(－g(x))为减函数，选项D正确；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)的增减性不确定．例如f(x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－x时，f(x)＋g(x)＝＋2在R上为增函数；当g(x)＝－3x时，f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数，故不能确定f(x)＋g(x)的单调性．] 5．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝|x|＋1　　　　　　 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ 解析：CD　[y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．] 6．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列说法中： ①函数f(x)＝x2＋1(x∈R)是单函数； ②函数f(x)＝x3－1(x∈R)是单函数； ③若函数f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)； ④若函数f(x)是A上的单函数，则f(x)是A上的单调函数． 其中所有正确说法的序号是　________________　. 解析：对于①，若函数f(x)＝x2＋1(x∈R)是单函数，则由f(x1)＝f(x2)，得x＋1＝x＋1，解得x1＝x2或x1＝－x2，不满足单函数的定义，故①错误；对于②，若函数f(x)＝x3－1(x∈R)是单函数，则由f(x1)＝f(x2)，得x－1＝x－1，解得x1＝x2，满足单函数的定义，故②正确；对于③，若函数f(x)为单函数，x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，其逆否命题为x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)，故③正确；对于④，对于f(x)＝，满足函数f(x)是(1,2)∪(2，＋∞)上的单函数，但f(x)在(1,2)∪(2，＋∞)上不是单调函数，故④错误． 答案：②③ 7．若函数f(x)＝(1－2a)x＋3在R上是增函数，则a的取值范围是　________　. 解析：由一次函数性质可得1－2a＞0，解得a＜. 答案：a＜ 8．已知函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是　________　. 解析：因为f(2)＝0，所以f(x－1)＞0＝f(2)，因为f(x)在R上的单调递减，所以x－1＜2， 即x＜3. 答案：(－∞，3) 9．若f(x)＝(a－2)·x2＋(a－1)x＋3在[2，＋∞]上是增函数，则a的取值范围是　________　，若在[2，＋∞)上是减函数，则a的范围是　________　. 解析：当a－2＝0，即a＝2时，f(x)＝x＋3在[2，＋∞]上是增函数； 当a－2>0，即a>2时，二次函数的图象开口向上，对称轴方程为x＝－，要使函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，则－≤2， 解得a>2，综上a≥2. 当a－2<0，即a<2时，二次函数的图象开口向下，要使f(x)在[2，＋∞)上是减函数， 则－≤2，a≤，综上a≤. 答案：[2，＋∞)　 10．证明：函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x－－x＋ ＝(x1－x2). ∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＋＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， ∴函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 11．已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数，求满足不等式f(1－2a)－f(3－a)＞0的实数a的取值范围． 解：由题意，可得f(1－2a)＞f(3－a)． ∵f(x)在定义域[1,4]上单调递减， ∴，解得－1≤a≤0， ∴实数a的取值范围为[－1,0]． 12．已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝－2，试证：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)任设x1＜x2＜－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1＜x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为a＞0，x2－x1＞0， 所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]． 13．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f≤2. 解：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2， 则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1， 所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1) ＝f(x2－x1)－1>0， 所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． (2)因为f＝f(x)－f(y)， 所以f(y)＋f＝f(x)． 在上式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)， 因为f(2)＝1，所以f(4)＝2. 于是不等式f(x)－f≤2等价于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3)．又由(1)，知f(x)是R上的增函数， 所以解得－1≤x<3或3<x≤4， 所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]． 14．若一元二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求实数m的取值范围． 解：(1)设一元二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1，得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1. 因为f(x＋1)－f(x)＝2x， 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x， 所以所以 所以f(x)＝x2－x＋1. (2)因为g(x)＝f(x)－mx＝x2－(1＋m)x＋1的图象关于直线x＝对称， 又函数g(x)在[2,4]上是单调函数． 所以≤2或≥4，解得m≤3或m≥7. 故实数m的取值范围是(－∞，3]∪[7，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$