第2章 2.1 函数概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．下列四组函数中相等的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝＋ 解析：C　[∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝()2(x≥0)两个函数的定义域不一致，∴A中的两个函数不相等；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应关系不一致，∴B中的两个函数不相等；易知C正确；f(x)＝0，g(x)＝＋两个函数的定义域不一致，∴D中的两个函数不相等．] 2．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝(　　) A．[－2,2)　　　　　　　 B．(－2,2) C．[－2，＋∞) D．(－∞，2] 解析：A　[M＝{x|2－x＞0}＝(－∞，2)，N＝{x|x＋2≥0}＝[－2，＋∞)，故M∩N＝[－2,2)．] 3．若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}，则y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析：B　[选项A中，当x＝8时，y＝0，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.] 4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1 解析：B　[y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．] 5．(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，f：A中的数的2倍 解析：AD　[A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系．] 6．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能是(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 解析：ABC　[函数y＝x2－4x－4的图象如图， f(0)＝f(4)＝－4， f(2)＝－8. 因为函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]， 值域为[－8，－4]，所以实数m的取值范围是[2,4]．] 7．已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是　________　. 解析：∵f(x)的定义域为R， ∴不等式mx2－2mx＋1＞0的解集为R， ①m＝0时，1＞0恒成立，满足题意； ②m≠0时，解得0＜m＜1. 综上，实数m的取值范围是[0,1)． 答案：[0,1) 8．函数f(x)＝x2＋2(x∈[－1,3])的值域是　________　. 解析：由题意，得抛物线y＝x2＋2开口向上，对称轴是y轴，所以函数f(x)＝x2＋2在[－1,3]上的最小值为2，最大值为11，所以函数f(x)的值域是[2,11]． 答案：[2,11] 9．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(3)＝　________　，f(f(4))＝　________　.(用数字作答) 解析：由题可知f(3)＝1，f(4)＝2，则f(f(4))＝f(2)＝0. 答案：1　0 10．试求下列函数的定义域与值域： (1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}； (2)y＝(x－1)2＋1； (3)y＝； (4)y＝x－. 解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，当x＝－1时，y＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}． (2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}． (3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}． (4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2－.又t≥0，故f(t)≥－.所以函数的值域是. 11．已知函数f＝x2＋－1.求函数f(x)的解析式． 解：∵函数f(x－)＝x2＋－1， ∴f＝2＋1， ∴f(x)＝x2＋1(x∈R)， ∴f(x)的解析式为f(x)＝x2＋1(x∈R)． 12．欧拉函数φ(n)(n∈N＋)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如，φ(1)＝1，φ(4)＝2.若m∈N＋，且(2i)＝13，则φ(m)＝(　　) A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 解析：B　[与2互素且不超过2的正整数为1，与4互素且不超过4的正整数为1、3，与6互素且不超过6的正整数为1、5，与8互素且不超过8的正整数为1、3、5、7，与10互素且不超过10的正整数为1、3、7、9，因为φ(2)＝1，φ(4)＝2，φ(6)＝2，φ(8)＝4，φ(10)＝4，所以(2i)＝(2i)＝1＋2＋2＋4＋4＝13，则m＝5，因为与5互素且不超过5的正整数为1、2、3、4，所以φ(m)＝φ(5)＝4.] 13．已知函数f(x)＝的值域为[1,3]，求a，b的值． 解：由题意y＝f(x)＝定义域为R，则(y－2)x2－ax＋y－b＝0在R上有解， 当y＝2时符合题意， 当y≠2时，Δ＝a2－4(y－2)(y－b)≥0， 即(y－2)(y－b)－≤0的解集为[1,3]， 故1和3为关于y的二次方程(y－2)(y－b)－＝0的两个根，所以解得a＝±2，b＝2. 14．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数f(x)＝的定义域为{x|ax2＋bx＋a＋1≥0且x≥0}． (1)若a＝－2，b＝3，求f(x)的定义域； (2)当a＝1时，若f(x)为“同域函数”，求实数b的值； (3)若存在实数a＜0且a≠－1，使得f(x)为“同域函数”，求实数b的取值范围． 解：(1)当a＝－2，b＝3时，由题意知，，解得≤x≤1.∴f(x)的定义域为. (2)当a＝1时，f(x)＝(x≥0)， ①当－≤0，即b≥0时，f(x)的定义域为[0，＋∞)，值域为[，＋∞)，∴b≥0时，f(x)不是“同域函数”． ②当－＞0，即b＜0时，当且仅当Δ＝b2－8＝0时，f(x)为“同域函数”．∴b＝－2. 综上所述，b的值为－2. (3)设f(x)的定义域为A，值域为B. ①当a＜－1时，a＋1＜0，此时，0∉A,0∈B， 从而A≠B，∴f(x)不是“同域函数”． ②当－1＜a＜0，即a＋1＞0时， 设x0＝， 则f(x)的定义域A＝[0，x0]． (ⅰ)当－≤0，即b≤0时，f(x)的值域B＝[0，]．若f(x)为“同域函数”，则x0＝， 从而b＝－()3， 又∵－1＜a＜0，∴b的取值范围为(－1,0)． (ⅱ)当－＞0，即b＞0时， f(x)的值域B＝. 若f(x)为“同域函数”，则x0＝， 从而b＝(－1)(*) 此时，由－1＜0，b＞0可知(*)不成立． 综上所述，实数b的取值范围为(－1,0)． 学科网（北京）股份有限公司 $$