第1章 4.3 一元二次不等式的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．不等式＞0的解集为(　　) A. B. C. D．∅ 解析：A　[＞0⇔(4x＋2)(3x－1)＞0⇔x＞或x＜－，此不等式的解集为.] 2．已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是(　　) A．{x|x＜－1，或x＞2} B．{x|－1＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2} 解析：A　[依题意，a＞0且－＝1.＞0⇔(ax－b)(x－2)＞0⇔(x－)(x－2)＞0， 即(x＋1)(x－2)＞0⇔x＞2或x＜－1.] 3．某地每年销售木材约2×105m3，销售价格为2.4×103元/m3，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少2.5t×104m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于9×106元，则实数t的取值范围是(　　) A．{t|1≤t≤3}　　　 B．{t|3≤t≤5} C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6} 解析：B　[设按销售收入的t%对木材征税时，税金收入为y元，则y＝2.4×103×(2×105－2.5t×104)×t%＝6(8t－t2)×105. 令y≥9×106，即6(8t－t2)×105≥9×106， 解得3≤t≤5.] 4．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有(　　) A．m≤－3　　　　　　　　　 B．m≥－3 C．－3≤m＜0 D．m≥－4 解析：A　[令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，在(0,1]上为减函数，当x＝1时，f(x)min＝－3，所以m≤－3.] 5．下列各组不等式中解集相同的是(　　) A.＜与x2－2x＜3 B.＞0与x－3＞0 C．x＜5与x＋＜5＋ D.＞0与x＋1＞0 解析：B　[对于A，根据分母不为0，可知＜的解集中没有元素1，而x2－2x＜3的解集中有元素1，故A不正确；对于B，由＞0，得x－3＞0且x≠－1，即x＞3，由x－3＞0，得x＞3，故选项B正确；对于C，由x＋＜5＋整理得x＜5且x2－3x＋2≠0，即x＜5且x≠1且x≠2，故选项C不正确；对于D，由＞0，得x＋1＞0且x－3≠0，即x＞－1且x≠3，故D不正确．] 6．(多选)在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a可以为(　　) A．－　　　B．不变　　　C.　　　D. 解析：ACD　[由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤.解得－≤a≤.] 7．要使有意义，则x的取值范围为　________　. 解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0， 即(x＋7)·(x－1)<0, 所以－7<x<1. 答案：{x|－7<x<1} 8．若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0恒成立，则实数a的取值范围为　________　. 解析：(1)若a2－1＝0，则a＝±1. 当a＝1时，原不等式为－1<0， 解集为R，满足题意； 当a＝－1时，原不等式为2x－1<0， 解集为，与题意不符． (2)若a≠±1，则当时， 不等式的解集为R，解得－<a<1. 综上，实数a的取值范围是. 答案： 9．已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x||2x－5|≥3}，则A∩B＝　____________________　，A∪B＝　____________________　. 解析：由≤1，得 －1≤0，整理得≤0，解得x＞4或x≤，即A＝， 因为B＝{x||2x－5|≥3}＝{x|2x－5≥3，或2x－5≤－3}＝{x|x≥4，或x≤1}，所以A∩B＝{x|x＞4，或x≤1}；A∪B＝. 答案：{x|x＞4，或x≤1}　 10．设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围． (2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由已知条件得m＝0，或， 解得－4＜m≤0. 因此实数m的取值范围是(－4,0]． (2)当x∈[1,3]时，不等式等价于mx2－mx－1＜－m＋5，m＜，函数y＝在[1,3]上随x的增大而减小，则当x＝3时，函数取到最小值ymin＝，由已知条件m＜， 因此实数m的取值范围是. 11．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解：由题知(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元． 依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)． 依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0， ∴－42≤x≤2. 又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2. ∴x的取值范围是0＜x≤2. 12．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立， 即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方． 当m＝0时，1－2x＜0，则 x＞，不满足题意； 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即 不等式组的解集为空集，即m不存在． 综上可知不存在这样的m. 13．已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2－3x－c≤0}． (1)若 A⊆B，求实数c的取值范围； (2)若B⊆A，求实数c的取值范围． 解：(1)A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x2－3x－c≤0}，由A⊆B，可知函数y＝x2－3x－c在(1,3]上恒有y≤0，由x2－3x－c≤0，可得c≥x2－3x＝2－，故c≥0. 所以实数c的取值范围为[0，＋∞)． (2)由B⊆A，可知B可能为∅，也可能不为∅. ①当B＝∅时，Δ＝9＋4c＜0，可得c＜－. ②当B≠∅时，设函数f(x)＝x2－3x－c， 则，即，解得－≤c＜－2. 综合①②，知实数c的取值范围为(－∞，－2)． 14．已知函数y＝(m＋1)x2－mx－1(m∈R)． (1)若函数y在(0，＋∞)上随x的增大而增大，求实数m的取值范围； (2)若m＜－1，解关于x的不等式y≥0. 解：(1)f(x)在(0，＋∞)上随x的增大而增大，若m＋1＝0，则m＝－1，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上随x的增大而增大，所以m＝－1；若m≠－1，f(x)在(0，＋∞)上随x的增大而增大，则，解得－1＜m≤0， 综上所述，实数m的取值范围是－1≤m≤0. (2)若m＜－1，f(x)≥0，则(m＋1)x2－mx－1≥0，即[(m＋1)x＋1)(x－1)]≥0， 所以(x－1)≤0， 若m＋1＝－1，即m＝－2，不等式的解集为{1}；若m＋1＞－1，即－2＜m＜－1， 此时＞1，不等式的解集为； 若m＋1＜－1，即m＜－2， 此时＜1，不等式的解集为， 综上可知，当m＝－2时，不等式的解集是{1}； 当－2＜m＜－1时，不等式的解集是； 当m＜－2时，不等式的解集是. 学科网（北京）股份有限公司 $$