第1章 4.1 一元二次函数-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．二次函数y＝x2－4x－7的顶点是(　　) A．(2,11)　　　　　　 B．(－2,7) C．(2，－11) D．(2，－3) 解析：C　[a＝1，b＝－4，c＝－7. ∴－＝2，＝－ ＝－11，＝ ∴顶点坐标为(2，－11)．] 2．将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到新抛物线的解析式为(　　) A．y＝(x－8)2＋5 B．y＝(x－4)2＋5 C．y＝(x－8)2＋3 D．y＝(x－4)2＋3 解析：B　[y＝(x2－12x＋42) x2－6x＋21＝ ＝(x－6)2＋3，[(x－6)2＋6]＝ ∴新抛物线的解析式为y＝(x－4)2＋5.] 3．函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C. D. 解析：D　[y＝－2x2＋x的对称轴为 x＝－，＝ ∴在区间上y随x的增大而增大．] 4．二次函数y＝x2＋2x－2在区间[0,1]上的最小值为(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．1 解析：B　[二次函数y＝x2＋2x－2的图象开口向上， 对称轴为x＝－1， 当x＞－1时， 函数值y随x的增大而增大， 所以在区间[0,1]上x＝0时取得最小值－2， 所以正确选项为B.] 5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(　　 ) A．b＜a＋c，c2＜ab B．b＜a＋c，c2＞ab C．b＞a＋c，c2＜ab D．b＞a＋c，c2＞ab 解析：D　[由题图可知，a＞0，b＞0，c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，f(－1)＝a－b＋c＜0，所以c＝－(a＋b)，b＞a＋c，所以c2－ab＝[－(a＋b)]2－ab＝a2＋b2＋ab＞0，即c2＞ab.] 6．(多选)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列结论正确的是(　　) A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x＝2 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；当x≥2时，y的值随x的增大而减小 D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 解析：ABD　[y＝(x－2)2＋1的顶点坐标为(2,1)，对称轴为x＝2，最小值为1，当x∈(－∞，2]时，y随x的增大而减小，当x∈[2，＋∞)时，y随x的增大而增大，由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y＝(x－2)2＋1的图象，故正确答案为ABD.] 7．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1的图象，则b＝　________　，c＝　________　. 解析：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度， 得到的函数为y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3. 整理得，y＝x2＋(b＋4)x＋7＋2b＋c， 又y＝x2－2x＋1， 则解得 答案：－6　6 8．已知a＞2，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，y1，y2，y3的大小关系为　________　 . 解析：由于二次函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1，开口向上，故函数在(－∞，1)上随x的增大而减小，在(1，＋∞)上随x的增大而增大．而a＞2，所以1＜a－1＜a＜a＋1，故y1＜y2＜y3. 答案：y1＜y2＜y3 9．函数y＝x2－2x＋3在区间[m,4]上的最小值为2，最大值为11，则实数m的取值范围是　________　. 解析：因为y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 所以当x＝1时，最小值为2，所以m≤1，又因为当x2－2x＋3＝11时，x＝4或－2，再结合图象可知m∈[－2,1]． 答案：[－2,1] 10．已知一元二次函数的最大值为15，其图象的对称轴为x＝1，且与x轴两个交点的横坐标的平方和为7. (1)求该一元二次函数； (2)要将该函数图象的顶点平移到原点，请说出平移的方式． 解：(1)一元二次函数的顶点为(1,15)， 设函数为y＝a(x－1)2＋15， 即y＝ax2－2ax＋a＋15. 设图象与x轴两个交点的横坐标为x1，x2， 即方程ax2－2ax＋a＋15＝0的两根， 由韦达定理x1＋x2＝2，x1x2＝， 又由x＝7，即(x1＋x2)2－2x1x2＝7，＋x 解得a＝－6， 所以一元二次函数为y＝－6(x－1)2＋15， 即y＝－6x2＋12x＋9. (2)y＝－6(x－1)2＋15的图象 y＝－6x2＋15的图象 y＝－6x2的图象． 11．已知二次函数图象过点(0,3)，图象向左平移2个单位后关于y轴对称，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，求二次函数的解析式． 解：∵图象向左平移2个单位后关于y轴对称，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点， ∴抛物线的顶点坐标为(2,1)． 设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋1(a≠0)， ∵二次函数的图象过点(0,3)，∴a＝. ∴二次函数的解析式为y＝(x－2)2＋1. 12．已知函数f(x)＝，若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 解：法一(最值法)：f(x)＞0对x∈[1，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＋a＞0时x∈[1，＋∞)恒成立． 设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞) 则y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上随x的增大而增大，从而ymin＝3＋a. 于是当且仅当ymin＝3＋a＞0，即a＞－3时，f(x)＞0对x∈[1，＋∞)恒成立，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)(分离参数法) 法二：f(x)＞0对x∈[1，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＋a＞0对x≥1恒成立，即a＞－x2－2x对x≥1恒成立，令μ＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，其在[1，＋∞)上随x的增大而减小，所以当x＝1时，μmax＝－3，因此a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)． 13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)，且x，试问该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图象向上平移几个单位得到的？ ＝＋x 解：由题意可设所求抛物线的解析式为 y＝－3(x－1)2＋k，展开得y＝－3x2＋6x－3＋k. 由题意得x1＋x2＝2， x1x2＝， ∴x，＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋x 即4－，＝ 解得k＝， ∴该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图象向上平移，个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋ 即y＝－3x2＋6x－. 14．已知函数f(x)＝x2－x＋a＋1. (1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)在区间[a，a＋1]上随x的增大而增大或随x的增大而减小，求a的取值范围． 解：因为f(x)＝，2＋a＋ 所以f(x)min＝a＋， (1)若f(x)≥0对一切x∈R恒成立， 所以a＋.≥0，所以a≥－ (2)f(x)在区间[a，a＋1]上随x的增大而增大或随x的增大而减小， 所以a≥，或a＋1≤ 即a≥.或a≤－ $$