第1章 3.2 第1课时 基本不等式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A.　　　　　　　　　 B．a2＋b2 C．2ab D．a 答案：B 2．已知a＜b＜0，则在下列不等式中成立的是(　　) A．a＜b＜＜ B．a＜＜b＜ C．a＜b＜＜ D．a＜＜ab＜b 答案：B 3．设m＞1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为(　　) A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q 答案：C 4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则的取值范围是(　　) ＋ A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 答案：D 5．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C. D．v＝<v< 解析：AD　[设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝＝0，∴v>a.]>－a＝.又v－a＝＝<＝ 6．(多选)下列命题中： ①已知a，b∈R则＝2成立； ≥2＋ ②已知x∈R且x≠0，则＝4成立； ≥2＝|x|＋ ③已知x∈R，则的最小值为2； ＋ ④已知a，b∈R，ab＜0，则＝－2成立． ≤－2＝－＋ 其中，是真命题的有(　　) A．①　　　B．②　　　C．③　　D．④ 解析：BD　[当ab＜0时，①中的不等式是错误的，①错误；因为x与，即a＝－b时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④正确．] ＝＞0，且－＞0且－时，x2＝－1无解，等号不成立)，故③错误；因为ab＜0，所以－＝＞2(当＋，即x＝±2时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②正确；是正确的，且|x|＝＝|x|＋同号，所以 7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，则a＋b,2 ，a2＋b2,2ab中最大的是　________　. 解析：∵a＞0，b＞0， ∴a＋b≥2，a2＋b2≥2ab， ∴四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2. 又∵0＜a＜1,0＜b＜1， ∴a2＋b2－(a＋b) ＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)＜0， ∴a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大． 答案：a＋b 8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是　________　. 解析：∵a＞0，b＞0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3， 即ab－2－3≥0， 解得≥3，即ab≥9. 答案：[9，＋∞) 9．设x＞0，xy＋y＝4，则z＝3x＋y＋2的最小值为　__________　. 解析：由题意x＞0，xy＋y＝4，所以y＝＞0， 所以z＝3x＋＋2＋2＝3(x＋1)－3＋ ＝3(x＋1)＋－1－1≥2 ＝4－1＞0时等号成立． ，即x＝－1，当且仅当3(x＋1)＝ 答案：4－1 10．已知a，b是正数，求证.≤ 证明：∵a＞0，b＞0， ∴＞0，≥2 ＋ ∴，＝≤ 即(当a＝b时取“＝”)．≤ 11．(1)已知0＜x＜x(1－2x)的最大值； ，求y＝ (2)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值． 解：(1)∵0＜x＜， ∴1－2x＞0， y＝2··2x·(1－2x)≤ ＝.＝× ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝.，y最大值＝ (2)∵x＜3，∴x－3＜0， ∴f(x)＝＋(x－3)＋3＋x＝ ＝－＋3 ≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号， ∴f(x)的最大值为－1. 12．已知x，y，z＞0，x＋y＋z＝3. (1)求的最小值； ＋＋ (2)求证：3≤x2＋y2＋z2＜9. 解：(1)＋＋ ＝(x＋y＋z) ＝ ＝ ≥ ＝3， 当且仅当x＝y＝z＝1时取等号， ∴的最小值为3.＋＋ (2)∵9＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz≤3(x2＋y2＋z2)， ∴x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号． 又x，y，z＞0， ∴xy＋xz＋yz＞0， ∴x2＋y2＋z2＝9－2(xy＋xz＋yz)＜9， ∴3≤x2＋y2＋z2＜9. 13．已知a，b，c均为正实数，求证：≥3.＋＋ 证明：∵a，b，c均为正实数， ∴≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，＋ ≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，＋ ≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，＋ 将 上述三式相加得≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，＋＋ ∴≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，＋＋ 即≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．＋＋ 14．已知x＞y＞0，且xy＝1，求证，并求等号成立的条件． ≥2 解：∵x＞y＞0，∴x－y＞0.又∵xy＝1， ∴≥＝(x－y)＋＝ 2，＝2 当且仅当x－y＝时，等号成立． 由 得x＝.，y＝ 即当x＝时，等号成立． ，y＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$